Lim per x---> +inf. della funzione :
x(ln(x+1)-lnx)
Lim per x---> +inf. della funzione :
x(ln(x+1)-lnx)
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Livello 2
$ = \begin{aligned} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x[ln(\frac{1+x}{x})] &= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} ln(1+\frac{1}{x})^x\\ &= ln (\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (1+\frac{1}{x})^x) \\ &= ln(e) = 1 \end{aligned} $
Abbiamo usato:
⊳ La definizione del numero "e"
⊳ Varie proprietà dei logaritmi
⊳ Il fatto che la funzione logaritmo è una funzione continua. Questo ha permesso di portare fuori il log dal segno di limite.
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Livello 3
@cmc Cmc scusami, hai usato il limite notevole? Grazie!
@alby Sì è stato usato il limite notevole limx--> +oo di (1+1/x)^x = e
@cmc Grazie mille.
lim_x->+oo x * ln (1 + x)/x = lim_x->+oo ln (1 + 1/x)^x = ln lim_x->+oo (1 + 1/x)^x = ln e = 1.
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Livello 7