Calcolo limiti utilizzando i limiti notevoli

Ci proviamo

Poiché lim_x->0  tg x/x = 1   in un intorno di 0  tg x ~ x

Poiché lim_x->0 ln(1 + x)/x = 1, in un intorno di 0    ln(1 + x) ~ x

Tenuto conto di questo il nostro limite equivale a

lim_x->0   e^[ 1/(x ln (1 + x ) ) * ln (1 + tg^2(x) ) ] =

= lim_x->0   e^ [ ln (1 + x^2)/(x*x) ] =

= e^[ lim_x->0 x^2/x^2 ] = e^1 = e.

utilizziamo l'identità logaritmica

$  = \displaystyle\lim_{x \to 0} e^{\frac{ln(1+tan^2 x)}{xln(1+x)}} = \quad ⊳$ 

La funzione esponenziale è una funzione continua quindi possiamo calcolare a parte il limite dell'esponente.

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} {\frac{ln(1+tan^2 x)}{xln(1+x)}} = $

Moltiplichiamo e dividiamo per quantità che permettono l'uso dei limiti notevoli

$ = \displaystyle\lim_{x \to 0} {\frac{ln(1+tan^2 x)}{tan^2 x} \cdot \frac {tan^2 x}{x^2} \cdot \frac {x^2}  {xln(1+x)}} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

per cui

$ ⊳ \quad = e^1 = e $  

Abbiamo fatto uso dei seguenti limiti notevoli, valevoli per x→0

• $\frac {ln(1+x)}{x} → 1 $
• $\frac {tan x}{x} → 1 $