Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo limite. Ho inziato a svilupparlo ma sono arrivata a un punto di stallo e non riesco a capire come andare avanti.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo limite. Ho inziato a svilupparlo ma sono arrivata a un punto di stallo e non riesco a capire come andare avanti.
Ci proviamo
Poiché lim_x->0 tg x/x = 1 in un intorno di 0 tg x ~ x
Poiché lim_x->0 ln(1 + x)/x = 1, in un intorno di 0 ln(1 + x) ~ x
Tenuto conto di questo il nostro limite equivale a
lim_x->0 e^[ 1/(x ln (1 + x ) ) * ln (1 + tg^2(x) ) ] =
= lim_x->0 e^ [ ln (1 + x^2)/(x*x) ] =
= e^[ lim_x->0 x^2/x^2 ] = e^1 = e.
utilizziamo l'identità logaritmica
$ = \displaystyle\lim_{x \to 0} e^{\frac{ln(1+tan^2 x)}{xln(1+x)}} = \quad ⊳$
La funzione esponenziale è una funzione continua quindi possiamo calcolare a parte il limite dell'esponente.
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} {\frac{ln(1+tan^2 x)}{xln(1+x)}} = $
Moltiplichiamo e dividiamo per quantità che permettono l'uso dei limiti notevoli
$ = \displaystyle\lim_{x \to 0} {\frac{ln(1+tan^2 x)}{tan^2 x} \cdot \frac {tan^2 x}{x^2} \cdot \frac {x^2} {xln(1+x)}} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
per cui
$ ⊳ \quad = e^1 = e $
Abbiamo fatto uso dei seguenti limiti notevoli, valevoli per x→0