Quale valore deve avere $a$ affinché il risultato di $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2+2 a x+a+1}{x^2-1}$ sia un numero reale? In corrispondenza di tale valore di $a$, qual é il valore del limite?
$$
\left[a=-\frac{2}{3} ; \frac{1}{3}\right]
$$
Quale valore deve avere $a$ affinché il risultato di $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2+2 a x+a+1}{x^2-1}$ sia un numero reale? In corrispondenza di tale valore di $a$, qual é il valore del limite?
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\left[a=-\frac{2}{3} ; \frac{1}{3}\right]
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Livello 2
La funzione:
y = (x^2 + 2·a·x + a + 1)/(x^2 - 1)
per x → 1
origina un limite che vale ±∞ legato al fatto che il denominatore è pari a:
x^2 - 1 = (x + 1)·(x - 1)
e quindi la frazione algebrica tende a valori infiniti (in definitiva x=1 è asintoto verticale).
Eseguiamo quindi la divisione:
(x^2 + 2·a·x + a + 1)/(x - 1)
Fornisce un
Q(x)=x+2a+1
R(a)=3a+2
Quindi se si vuole una divisione esatta deve essere:
3·a + 2 = 0----> a = - 2/3
Per tale valore di a si ha quanto richiesto:
(x^2 + 2·(- 2/3)·x + - 2/3 + 1)/(x^2 - 1)=
=(3·x - 1)/(3·(x + 1))
LIM((3·x - 1)/(3·(x + 1))) = 1/3
x → 1
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Genius II
@lucianop Scusami Luciano mi sono perso in questo passaggio:
(x^2 + 2·a·x + a + 1)/(x - 1)
che fine ha fatto (x+1) a denominatore?
Il resto ok grazie mille.
Se la divisione è esatta, vuol dire che:
(x^2 + 2·a·x + a + 1) =(x+2a+1)*(x-1)
la divisione ti serve solo per arrivare a questo risultato a patto che si abbia il resto nullo.
che fine ha fatto (x+1) a denominatore? ....
E' ancora lì bello tranquillo! Chi devi semplificare poi è solo (x-1) che compare nei due termini della frazione. Capito ora?
@lucianop ok grazie