Calcolo Limiti nella f. indeterminata (infinito/infinito), SENZA TEOREMI.

Forma indeterminata del tipo ∞-∞. In questo caso, la funzione è pari, quindi il limite per x→-∞ è equivalente al limite per x→+∞. Cosa che faremo, vista l'intolleranza al segno meno.

i) Moltiplichiamo e dividiamo per il fattore $(\sqrt{2x^4-1} + \sqrt{x^4-1})$, al fine di eliminare la forma indeterminata con il meno.

ii) Utilizziamo la formula della differenza di quadrati per semplificare il numeratore

iii) Se si presenta ancora una forma indeterminata, divideremo sopra e sotto per una opportuna potenza.

iv) Concludiamo passando al limite

.

i) $\frac {(\sqrt{2x^4-1} - \sqrt{x^4-1})(\sqrt{2x^4-1} + \sqrt{x^4-1})} {x^2(\sqrt{2x^4-1} + \sqrt{x^4-1})} $  

ii) $\frac {2x^4-1-x^4+1} {x^2(\sqrt{2x^4-1} + \sqrt{x^4-1})} = \frac {x^4} {x^2(\sqrt{2x^4-1} + \sqrt{x^4-1})} =\frac {x^2} {\sqrt{2x^4-1} + \sqrt{x^4-1}} $

iii) dividiamo numeratore e denominatore per x²

$ \frac {1} {\sqrt{2-\frac{1}{x^4}} + \sqrt{1-\frac{1}{x^4}}} $

iv) $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {1} {\sqrt{2-\frac{1}{x^4} }+ \sqrt{1-\frac{1}{x^4}}} = \frac{1}{\sqrt{2} +1} = \sqrt{2} -1 $

nell'ultimo passaggio ho razionalizzato moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{2} -1$ e semplificando il denominatore.