Forma indeterminata del tipo ∞-∞.
i) Proviamo a eliminare la differenza usando la formula della differenza di quadrati. Moltiplichiamo e dividiamo per $\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2 +2}$
ii) Semplifichiamo
iii) Se incappiamo in un'altra forma indeterminata, risolviamola
iv) Concludiamo con il passaggio al limite
.
i) $= \frac{(\sqrt{x^2-2x+2} - \sqrt{x^2+2})(\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2+2})} {\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2+2} }=$
ii) $= \frac{x^2-2x+2 - x^2-2 } {\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2+2}} = \frac{-2x } {\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2+2} }= $
iii) Forma indeterminata del tipo ∞/∞. Dividiamo numeratore e denominatore per x
$ = \frac{-2} {\sqrt{1- \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} + \sqrt{1+ \frac{2}{x^2}}} $
iv) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-2} {\sqrt{1- \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} + \sqrt{1+ \frac{2}{x^2}} }= -\frac{2}{2} = -1 $
Devi immaginare che sotto la differenza ci sia 1: cosicché hai una frazione. Devi razionalizzare il numeratore:
(√(x^2 - 2·x + 2) - √(x^2 + 2))·(√(x^2 - 2·x + 2) + √(x^2 + 2)) = - 2·x
In grassetto il fattore razionalizzante. Al denominatore hai il fattore razionalizzante *1.
√(x^2 - 2·x + 2) + √(x^2 + 2) = ABS(x)·√(1 - 2/x + 2/x^2) + ABS(x)·√(1 + 2/x^2)
liberi il modulo: x > 0 perché x → +∞ e quindi sei in campo positivo in senso stretto!
Quindi ottieni il rapporto:
- 2·x/(2·x) = -1
che costituisce il valore del limite per x → +∞