Calcolo limiti, f.indeterminata (+∞ - ∞), SENZA TEOREMI.

Razionalizzi il numeratore di una frazione avente denominatore pari ad 1.

Ottieni al numeratore:

(√(x^2 + x + 1) - x)·(√(x^2 + x + 1) + x) = x + 1

(in grassetto il fattore razionalizzante)

Al denominatore hai:

√(x^2 + x + 1) + x =

=ABS(x)·√(1 + 1/x + 1/x^2) + x =

(x → +∞ :     x > 0)

(+x)·√1 + x = +2x

(x + 1)/(+ 2·x) = x·(1 + 1/x)/(+ 2·x) = +1/2 per x → +∞ 

Forma indeterminata del tipo ∞-∞. Eliminiamo la differenza moltiplicando e dividendo per (\sqrt{x^2+x+1} + x).

i) Moltiplichiamo e dividiamo per $(\sqrt{x^2+x+1} + x)$

ii) Usiamo la formula della differenza di quadrati per semplificare il numeratore

iii) Se ritroviamo una nuova forma indeterminata del tipo ∞/∞ divideremo sopra e sotto per x

iv) Concludiamo passando al limite.

.

i) $ \sqrt{x^2+x+1} - x = \frac{(\sqrt{x^2+x+1} - x)(\sqrt{x^2+x+1} + x)}{\sqrt{x^2+x+1} + x} = $

ii) $ = \frac {x^2+x+1- x^2} {\sqrt{x^2+x+1} + x} = \frac {x+1} {\sqrt{x^2+x+1} + x} = $

iii) $ = \frac {1+\frac{1}{x}} {\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + 1} $ 

iv) $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {1+\frac{1}{x}} {\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{1}{2} $