[Risolto] Calcolo limiti, f.indeterminata (+∞ - ∞), SENZA TEOREMI.

Forma indeterminata del tipo ∞-∞.

i) Proviamo a eliminare la differenza usando la formula della differenza di quadrati. Moltiplichiamo e dividiamo per $\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2 +2}$

ii) Semplifichiamo

iii) Se incappiamo in un'altra forma indeterminata, risolviamola

iv) Concludiamo con il passaggio al limite

.

i) $= \frac{(\sqrt{x^2-2x+2} - \sqrt{x^2+2})(\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2+2})} {\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2+2} }=$

ii) $= \frac{x^2-2x+2 - x^2-2 } {\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2+2}} = \frac{-2x } {\sqrt{x^2-2x+2} + \sqrt{x^2+2} }= $

iii) Forma indeterminata del tipo ∞/∞. Dividiamo numeratore e denominatore per x

$ =  \frac{-2} {\sqrt{1- \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} + \sqrt{1+ \frac{2}{x^2}}} $

iv) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-2} {\sqrt{1- \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} + \sqrt{1+ \frac{2}{x^2}} }= -\frac{2}{2} = -1 $  

Devi immaginare che sotto la differenza ci sia 1: cosicché hai una frazione. Devi razionalizzare il numeratore:

(√(x^2 - 2·x + 2) - √(x^2 + 2))·(√(x^2 - 2·x + 2) + √(x^2 + 2)) = - 2·x

In grassetto il fattore razionalizzante. Al denominatore hai il fattore razionalizzante *1.

√(x^2 - 2·x + 2) + √(x^2 + 2) = ABS(x)·√(1 - 2/x + 2/x^2) + ABS(x)·√(1 + 2/x^2)

liberi il modulo: x > 0 perché x → +∞ e quindi sei in campo positivo in senso stretto!

Quindi ottieni il rapporto:

- 2·x/(2·x) = -1

che costituisce il valore del limite per x → +∞