6
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Livello 0
$ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x(ln(1+e^{-x}) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{ln(1+e^{-x})}{\frac{1}{x}} = $
Cambio di variabile. $ t = \frac{1}{e^x} \; ⇒ \; e^x = \frac{1}{t} \; ⇒ \; x = ln(t^{-1}) = - ln t $
Inoltre se x → +∞ allora t → 0⁺
$ = \displaystyle\lim_{t \to 0^+} \frac{ln(1+t)}{\frac{1}{-ln t}} = $
$ = \displaystyle\lim_{t \to 0^+} \frac{ln(1+t)}{t} \cdot (-t \cdot ln(t)) = 1 \cdot 0 = 0$
Abbiamo fatto uso dell'ultimo limite notevole
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \cdot ln(x) = 0 $
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Livello 4
@cmc potresti spiegarmi meglio l'ultima parte grazie e scusami il disturbo
Nessun disturbo, è un errore che provvederò a correggere.
lim_x->+oo ln ( 1 + e^(-x) )/e^(-x) * e^(-x)*x =
= lim_y->0 ln ( 1 + y )/y * lim_x->+oo x/e^x =
= 1 * 0 = 0
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Livello 7