Calcolo limite

 lim_(x → 0) di [(sen x)^2 / [1 - (cos x)^3];

scomponiamo:

(sen x)^2 = 1 - (cos x)^2 = [1 + (cos x)] * [1 - (cos x)]; differenza di quadrati;

1 - (cos x)^3 = [1 - (cos x)] * [ 1 + (cos x) + (cos x)^2], differenza di cubi;

diventa:

 {[1 + (cos x)] * [1 - (cos x)]} / { [1 - (cos x)] * [ 1 + (cos x) + (cos x)^2]};

semplifichiamo [1 - (cos x)];  rimane:

[1 + (cos x)] / [ 1 + (cos x) + (cos x)^2];

 lim_(x → 0) di [1 + (cos x)] / [ 1 + (cos x) + (cos x)^2] =

= (1 + 1) / (1 + 1 + 1) = 2/3.

Ciao  @francesca28

Oppure, conosci la regola di De l'Hopital?

limite =  0/0;

Applico De l'Hopital; posso calcolare il limite delle derivate; ;

derivata del numeratore:

d (sen x)^2 / dx = 2 (sen x) * (cos x);

d[1 - (cos x)^3] / dx = - 3 (cos x)^2 * (- senx) = + 3 (cos x)^2 * (senx) ;

facciamo il rapporto delle derivate:

2 (sen x) * (cos x) / [+ 3 (cos x)^2 * (sen x)] =

= 2 / [3 * (cos x)];  (cos 0 = 1)

 lim_(x → 0)  di 2 / [3 * (cos x)] = 2 / (3 * 1) = 2/3.

Ciao  @francesca28

=$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sin^2 x}{(1-cosx) (1+cos x + cos^2x)} $

Riscriviamo la funzione moltiplicando e dividendo per x².

=$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sin^2 x}{x^2} \frac {x^2}{1-cos x} \frac{1}{1+cos x+cos^2x} = 1\cdot2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3} $

Sono stati utilizzati due limiti notevoli:

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1 $

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1-cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $