29
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Livello 0
Soluzione:
* Sostituzione:
Per semplificare l'integrale, effettuiamo la seguente sostituzione:
* u = x + 1
* du = dx
Con questa sostituzione, i nuovi estremi di integrazione diventano:
* Quando x = 0, u = 1
* Quando x = 8, u = 9
L'integrale diventa quindi:
∫[1,9] 1/√u du
* Calcolo dell'integrale:
L'integrale di 1/√u è 2√u. Quindi:
∫[1,9] 1/√u du = [2√u]₁⁹
* Valutazione agli estremi:
[2√u]₁⁹ = 2√9 - 2√1 = 2*3 - 2*1 = 4
Risultato:
Il valore dell'integrale definito è 4.
Quindi:
∫[0,8] 1/√(x+1) dx = 4
In conclusione:
L'area sottesa dalla curva della funzione 1/√(x+1) nell'intervallo [0, 8] è uguale a 4 unità di area.
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Livello 1
@bertilla perchè L'integrale di 1/√u è 2√u?
L'integrale è sostanzialmente l'operazione inversa della derivata. Quindi, per verificare se 2√u è effettivamente l'integrale di 1/√u, possiamo derivare 2√u e vedere se otteniamo 1/√u.
Deriviamo 2√u:
* Riscriviamo: 2√u come 2u^(1/2).
* Applichiamo la regola di derivazione di una potenza: (d/dx)x^n = nx^(n-1).
* Deriviamo: (d/du)(2u^(1/2)) = 2 * (1/2) * u^(1/2 - 1) = u^(-1/2).
* Riscriviamo: u^(-1/2) come 1/√u.
Abbiamo ottenuto 1/√u, quindi abbiamo verificato che l'integrale di 1/√u è effettivamente 2√u.
In sintesi:
* Integrale: Operazione che, data una funzione, cerca un'altra funzione la cui derivata è quella data.
* Derivazione: Operazione inversa dell'integrazione.
* Verifica: Derivando 2√u otteniamo 1/√u, quindi 2√u è l'integrale di 1/√u.
Un piccolo appunto:
* Costante di integrazione: Quando calcoliamo un integrale indefinito, dobbiamo sempre aggiungere una costante arbitraria (c) alla soluzione. Quindi, l'integrale completo di 1/√u è 2√u + c.