[Risolto] Calcolo di massimi e minimi di funzioni a due variabili

Il terzo foglio ti è uscito dritto per caso?
Penso comunque di darci un’occhiata fra un po’: devo raddrizzare le altre immagini ed adesso non mi è possibile.

Faccio prima a risolverlo.

z = (x^2 + y^2 - 4)·e^(x - y)

Applico le C.N.

{Z'x=0

{Z'y=0

Quindi:

{e^(x - y)·(x^2 + 2·x + y^2 - 4) = 0

{- e^(x - y)·(x^2 + y^2 - 2·y - 4) = 0

Lo risolvo ed ottengo 2 punti critici:

[1, -1] e [-2, 2]

Studio la loro natura applicando le C.S. tramite l'Hessiano H(x,y). Le derivate seconde sono:

Z''xx=e^(x - y)·(x^2 + 4·x + y^2 - 2)

Z''yy=e^(x - y)·(x^2 + y^2 - 4·y - 2)

Z''xy=Z''yx= - e^(x - y)·(x^2 + 2·x + y^2 - 2·y - 4)

Nel primo punto critico tali derivate valgono:

Z''xx=e^(1 - (-1))·(1^2 + 4·1 + (-1)^2 - 2)= 4·e^2 

Z''yy= e^(1 - (-1))·(1^2 + (-1)^2 - 4·(-1) - 2) = 4·e^2

Z''xy=Z''yx= - e^(1 - (-1))·(1^2 + 2·1 + (-1)^2 - 2·(-1) - 4)= - 2·e^2

Quindi: H(1,-1)=

|4·e^2....... - 2·e^2|

|- 2·e^2.......4·e^2 |

=12·e^4 >0 e 4·e^2 >0

Quindi minimo relativo in corrispondenza del 1° punto

Zmin= (1^2 + (-1)^2 - 4)·e^(1 - (-1))= - 2·e^2

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L'altro è un punto di sella (verificalo tu)