Calcolo delle aree con gli integrali.

y = x + 1;

y = x^2 - 2x - 3;

intersezioni retta parabola:

x^2 - 2x - 3 = x + 1;

x^2 - 3x - 4 = 0;

x = [3 +- radice(9 + 16)]/2 = [3 +- 5]/2;

x1 = (3 + 5) /2 = 4;     y1 = 4^2 - 2 * 4 - 3 = + 5;

x2 = (3 - 5) / 2 = - 1;  y2 = 1 - 2 * (- 1) - 3 = 0.                              

Parabola:                       

intersezione con l'asse x:

x^2 - 2x - 3 = 0 

x = +1 +- radice(1 + 3) = 1 +- 2;

x1 = + 3;   x2 = - 1;

minimo; (vertice)

2x - 2 = 0; 

x = + 1;

y = 1 - 2 - 3 = - 4;

vertice(+1; - 4).

Retta e parabola  si intersecano in x1 = - 1; x2 = + 4;

Sottraiamo all'area sotto il grafico della retta, l'area sotto il grafico della parabola.                                                                       

A =  ∫[(x + 1) - (x^2 - 2x -3)] dx;  calcolato tra - 1 e + 4;

A = ∫(x + 1 - x^2 + 2x + 3) dx = ∫(- x^2 + 3x + 4 ) dx  calcolato tra - 1 e + 4;

A = - x^3/3 + 3x^2/2 + 4x ; calcolato tra - 1 e + 4;

A = - 64/3 + 48/2 + 16 - (+ 1/3 + 3/2 - 4) =

= - 64/3 + 24 + 16 - 1/3 - 3/2 + 4 = - 64/3 + 44 - 1/3 - 3/2 =

= - 65/3 + 44 - 3/2 = - 130/6 + 264/6 - 9/6 = 125/6.

ho finito l'esercizio!

ciao @alby

Dapprima determiniamo i punti di intersezioni tra le due curve. Osserviamo che la retta nell'intervallo tra i due punti assuma valori maggiori di quelli assunti dalla parabola. L'area A  sarà data dall'integrale definito della differenza tra retta e parabola.

• Intersezione. dal sistema retta parabola cioè 

$ \left\{\begin{aligned} x+1 & = y \\ x^2-3x-3 &= y \end{aligned} \right. $

ricaviamo $ x_1 = -1; x_2 = 4 $

• Disegna il grafico delle due curve e vedrai che la retta maggiora la parabola nell'intervallo [-1, 4]
• Calcoliamo l'integrale

$ A = \int_{-1}^4  x+1 - x^2+3x+3 \, dx $

$ A = \int_{-1}^4  - x^2+3x+4 \, dx $

$ A= \left. -\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} +4x \right|_{-1}^4 =$

$ A = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6} $