Calcolo delle aree con gli integrali.

y = x + 1;

y = x^2 - 2x - 3;

intersezioni retta parabola:

x^2 - 2x - 3 = x + 1;

x^2 - 3x - 4 = 0;

x = [3 +- radice(9 + 16)]/2 = [3 +- 5]/2;

x1 = (3 + 5) /2 = 4;  y1 = 4^2 - 2 * 4 - 3 = + 5;

x2 = (3 - 5) / 2 = - 1;  y2 = 1 - 2 * (- 1) - 3 = 0.

Parabola:

intersezione con l'asse x:

x^2 - 2x - 3 = 0 

x = +1 +- radice(1 + 3) = 1 +- 2;

x1 = + 3;   x2 = - 1;;

minimo; (vertice)

2x - 2 = 0; 

x = + 1;

y = 1 - 2 - 3 = - 4;

vertice(+1; - 4).

Dapprima determiniamo i punti di intersezioni tra le due curve. Osserviamo che la retta nell'intervallo tra i due punti assuma valori maggiori di quelli assunti dalla parabola. L'area A  sarà data dall'integrale definito della differenza tra retta e parabola.

• Intersezione. dal sistema retta parabola cioè 

$ \left\{\begin{aligned} x+1 & = y \\ x^2-3x-3 &= y \end{aligned} \right. $

ricaviamo $ x_1 = -1; x_2 = 4 $

• Disegna il grafico delle due curve e vedrai che la retta maggiora la parabola nell'intervallo [-1, 4]
• Calcoliamo l'integrale

$ A = \int_{-1}^4  x+1 - x^2+3x+3 \, dx $

$ A = \int_{-1}^4  - x^2+3x+4 \, dx $

$ A= \left. -\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} +4x \right|_{-1}^4 =$

$ A = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6} $