Calcolo delle aree

1) y - 3 <= 0
è il semipiano, delimitato dalla y = 3 e compresa la retta stessa, cui appartiene l'origine.
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2) y <= - x^2 + 6*x - 5
è la concavità, curva compresa, della parabola
* Γ1 ≡ y = 4 - (x - 3)^2
di apertura a1 = - 1, vertice V1(3, 4) e che interseca la y = 3 in
* (y = 3) & (y = 4 - (x - 3)^2) ≡ A(2, 3) oppure B(4, 3)
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1 & 2) (y - 3 <= 0) & (y <= - x^2 + 6*x - 5)
è la parte di concavità della parabola, frontiera compresa, da cui è sottratto il segmento parabolico ABV.
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3) Per descrivere la superficie individuata da
* y >= 3 - √(12 - 3*x)
serve ragionare un po' di più.
3a) Per avere punti reali occorre limitarsi a 12 - 3*x >= 0 ≡ x <= 4.
3b) Con la condizione restrittiva (x <= 4) & (y <= 3) si tratta della concavità della parabola
* y = 3 - √(12 - 3*x) ≡
≡ 12 - 3*x = (3 - y)^2 ≡
≡ x = - y^2/3 + 2 y + 1 ≡ x = 4 - (y - 3)^2/3
di apertura a2 = - 1/3, vertice V2 = B(4, 3).
Quindi
* y >= 3 - √(12 - 3*x)
è la metà inferiore all'asse di simmetria della concavità della parabola
≡ Γ2 ≡ x = 4 - (y - 3)^2/3
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4) Le due parabole s'intersecano nelle soluzioni di
* Γ1 & Γ2 ≡ (y = 4 - (x - 3)^2) & (x = 4 - (y - 3)^2/3) ≡ C(1, 0) oppure B(4, 3)
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5) Dall'esame di un grafico della situazione analizzata finora
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28y-3%29*%28x-1%29%3D0%2Cy%3D4-%28x-3%29%5E2%2Cx%3D4-%28y-3%29%5E2%2F3%5D
si vede che, per ottenere l'area della superficie individuata dal sistema 357, servono ancora alcune cose.
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5a) L'intersezione di x = 1 simmetrica di C e quella con l'asse di simmetria di Γ2
* (x = 1) & (x = 4 - (y - 3)^2/3) ≡ C(1, 0) oppure D(1, 6)
* (x = 1) & (y = 3) ≡ H(1, 3)
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5b) L'area del triangolo ACH
* S(ACH) = (3 - 0)*(2 - 1)/2 = 3/2
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5c) L'area del segmento parabolico sbieco delimitato dalla corda AC sulla Γ1
* S(AC) = |a1|*(xA - xC)/6 = |- 1|*(2 - 1)/6 = 1/6
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5d) L'area del segmento parabolico retto delimitato dalla corda CD sulla Γ2
* S(CBD) = (2/3)*(yD - yC)*(xB - xH) = (2/3)*(6 - 0)*(4 - 1) = 12
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6) E infine
* S(357) = S(CBD)/2 - S(ACH) + S(AC) = 12/2 - 3/2 + 1/6 = 14/3
che è proprio il risultato atteso.