La funzione e`: -4*sin(x-(pi/4)) e l'intervallo e` [0;pi/2]
ho provato ad usare la sostituzione per l'integrale indefinito, sostituendo x-(pi/4) = t e dx = dt il risultato e`: 4*-cos(x-(pi/4)).
Usand l'integrale definito nell'intervallo indicato e ponendo quindi come estremi di integrazione 0 e pi/2 il risultato e` 0. Sul libro e` indicato 8-4*sqrt(2). Dove potrebbe essere il problema? Grazie in anticipo
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Livello 0
Il problema sta nella tirchieria degli editori e nella leggerezza degli autori: la correzione di bozze fatta alla garibaldina fa stampare il risultato di un esercizio accanto al testo di un altro.
* f(x) = - 4*sin(x - π/4) = 4*cos(x + π/4) =
= (2*√2)*(cos(x) - sin(x))
* F(x) = ∫ f(x)*dx = (2*√2)*∫ (cos(x) - sin(x))*dx =
= (2*√2)*(sin(x) + cos(x)) + c =
= (2*√2)*(√2)*sin(x + π/4) + c =
= 4*sin(x + π/4) + c
* I(f, a, b) = ∫ [x = a, b] f(x)*dx = F(b) - F(a)
quindi
* I(f, 0, π/2) = ∫ [x = 0, π/2] (- 4*sin(x - π/4))*dx =
= F(b) - F(a) =
= 4*sin(π/2 + π/4) - 4*sin(0 + π/4) =
= 2*√2 - 2*√2 =
= 0
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Genius I
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -4\sin{\left( - \frac{\pi}{4}\right)} = \left[4\cos{\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0\,.\]
Il risultato del libro è sbagliato.
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Livello 5
Hai ragione tu!
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Genius II
L'integrale é zero ma per avere l'area devi prendere il valore assoluto
2 S_[0,pi/4] - 4 sin (x - pi/4) dx = 2 * 4 [cos (x - pi/4)]_[0,pi/4] =
= 8 [ cos (0) - cos (-pi/4) ] = 8 - 8 rad(2)/2 = 8 - 4 rad 2
https://www.desmos.com/calculator/xcngw3u23q
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Livello 7
