Calcolo dell'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo

Secondo teorema di Euclide: " l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo è medio proporzionale fra le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa stessa"

Quindih^2 = x·y ------->  h = √(x·y)

Risolviamo quindi il sistema:

{x+y=25

{x-y=7

-----------(sommo)

2x=32------->x=16 dm proiezione del cateto maggiore su ipotenusa

{x+y=25

{x-y=7

-----------(sottraggo)

2y=18------->y=9 dm proiezione del cateto minore su ipotenusa

Quindi:  h = √(16·9)-----> h = 12 dm altezza relativa all'ipotenusa

a+b = 25

a-b = 7

sommando membro a membro 

2a = 32

a = 16

b = 25-16 = 9

poiché in un triangolo rettangolo l'altezza è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (Euclide dixit)  , ne consegue :

a/h = h/b

h^2 = a*b 

h = √a*b = √16*9 = √144 = 12 

II Teorema: l'altezza relativa h all'ipotenusa è media proporzionale fra le due proiezioni dei cateti x e y:

x : h = h : y;

h^2 = x * y.

x + y = 25 dm; (1)

x - y = 7; (2)

x = 7 + y; (proiezione maggiore). Sostituiamo nella  (1);

7 + y + y = 25;

2y = 25 - 7;

y = 18/2 = 9 dm;

x = 7 + 9 = 16 dm;

h^2 = 9 * 16;

h = radicequadrata(144) = 12 dm.

In ogni caso in cui di due valori (x, y) incogniti siano note la somma (s = x + y) e la differenza non negativa (d = x - y >= 0) essi valgono semisomma e semidifferenza dei dati
* x = (d + s)/2
* y = (s - d)/2
------------------------------
Nel caso in esame, con unità di misura dm e dm^2, si hanno le projezioni dei cateti
* x = (7 + 25)/2 = 16
* y = (25 - 7)/2 = 9
da cui l'altezza h, loro medio proporzionale, si trova dalla proporzione
* 16/h = h/9
che dà
* h = √(16*9) = √144 = 12