$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(7n + 32) \cdot 3^{n}}{n(n+2) \cdot 4^{n}}}$
Ciao a tutti, col criterio del rapporto ho stabilito che il $\lim_{n \to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \,=\, \frac{3}{4}$ e dunque la serie converge. Ora, sapendo questo, come faccio a calcolare la somma?
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Livello 3
Devo aver sbagliato qualcosa col codice latex, comunque se non si riesce a capire, il criterio del rapporto dà come risultato $\frac{3}{4}$.
Per ora ti fornisco una risposta sintetica :
1) decomponi in fratti semplici (7n+32)/(n(n+2)) = 16/n - 9/(n + 2)
2) Spezzi la somma in due parti entrambe riconducibili a S_n:1->oo a^n/n
e la ottieni integrando termine a termine ( la serie geometrica é uniformemente
convergente ). Sulla seconda operi un cambio di variabile e sottrai i due termini
per calcolo diretto. La costante di integrazione é 0.
Mi spiego : S_n:0->oo a^n = 1/(1-a) se |a| < 1 , nel tuo caso a = 3/4 ;
integrando, S_n:0->oo a^(n+1)/(n+1) = - S - 1/(1-a) da
ovvero S_n:1->oo a^n/n = - ln | 1 - a | + C
in cui ponendo a = 0 si trae 0 = - ln 1 + C => C = 0.
Il risultato, confermato da Wolfram, é S = 33/2 = 16.5.
Aggiornamento : lo sviluppo completo é il seguente
Decomposizione in fratti semplici
(7n + 32)/(n(n+2)) = A/n + B/(n+2)
A(n+2) + Bn = 7n + 32 per ogni n
A + B = 7
2A = 32
A = 16 e B = 7 - 16 = -9
Hai quindi 16/n - 9/(n+2)
Posto per brevità 3/4 = a, devi calcolare
S_n:1->oo 16/n * a^n - S_n:1->oo 9/(n+2) * a^n =
= 16 S_n:1->oo a^n / n - 9 S_n:1->oo a^n/(n+2) =
= 16 * ( - ln | 1 - a | ) - 9 S_m:3->oo a^(m-2)/m
avendo posto m = n+2 => n = m - 2
se n parte da 1 allora m parte da 3
Riscrivi allora
S = 16 * ( - ln (1 - 3/4)) - 9 a^(-2) * [S_m:1->oo a^m /m - a^1/1 - a^2/2 ] =
= 16 * (-ln 1/4 ) - 9*(4/3)^2 * [ - ln | 1 - 3/4 | - 3/4 - 1/2 * 9/16 ] =
= 16 ln 4 - 9* 16/9 * [ - ln 1/4 - 3/4 - 9/32 ] =
= 16 ln 4 + 16 ln 1/4 + 16 * (24 + 9)/32 =
= 16 ln 1 + 33/2 = 33/2 = 16.5
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Livello 7
questi sono i primi 20 steps tratti dalla sommatoria condotta fino alla saturazione della capacità di calcolo del mio PC (2,0024E-65 ; la convergenza a 33/2 è alquanto rapida
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Genius II
