[Risolto] Calcolo della massa della carrucola

Dal testo so che il sistema non è in equilibrio, bensì si muove con un’accelerazione pari a metà accelerazione di gravità dalla parte del secondo blocco. Analizzo le forze che agiscono su quest’ultimo applicando il secondo principio della dinamica:

$$
\begin{gathered}
F_{p_{2}}-T_{2}=m_{2} a, \text { da cui: } \\
m_{2} g-T_{2}=m_{2} \frac{g}{2} \text {, ovvero: } \\
T_{2}=m_{2}\left(g-\frac{g}{2}\right)=m_{2} \frac{g}{2}
\end{gathered}
$$
Analogamente:
$$
\begin{gathered}
T_{1}-F_{p_{1}}=m_{1} a, \text { da cui: } \\
T_{1}-m_{1} g=m_{1} \frac{g}{2}, \text { ovvero: } \\
T_{1}=m_{1} g+m_{1} \frac{g}{2}=m_{1} \frac{3}{2} g
\end{gathered}
$$
Rappresento graficamente le forze che agiscono sulla carrucola e che presentano una certa rilevanza nel calcolo del momento totale:

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Calcolo ora il momento totale (avendo verso opposto li sottraggo):
$$
M_{t o t}=M_{T_{2}}-M_{T_{1}}=T_{2} r-T_{1} r=r\left(T_{2}-T_{1}\right)
$$

Sostituendo i valori precedentemente trovati:
$$
\begin{gathered}
M_{t o t}=r\left(T_{2}-T_{1}\right)=r\left(m_{2} \frac{g}{2}-m_{1} \frac{3}{2} g\right), \text { da cui: } \\
M_{t o t}=r \frac{g}{2}\left(m_{2}-3 m_{1}\right)
\end{gathered}
$$
Ricordando che posso esprimere l'accelerazione rotazionale in funzione del raggio:
$$
\begin{gathered}
a=\alpha r, \text { da cui: } \\
\alpha=\frac{a}{r}
\end{gathered}
$$
Posso dunque applicare il secondo principio della dinamica rotazionale:
$$
M_{t o t}=I \alpha
$$
sostituendo i valori (essendo la carrucola un disco pieno $I=\frac{1}{2} m_{\text {carrucola }} r^{2}$ ) ottengo:

$\begin{aligned} r \frac{g}{2}\left(m_{2}-3 m_{1}\right)=& \frac{1}{2} m_{\text {carrucola }} r^{2} \frac{a}{r}, \text { semplificando alcuni termini e ricordando che } a=\frac{g}{2}: \\ & m_{\text {carrucola }}=2\left(m_{2}-3 m_{1}\right)=2(44-3 \times 11) kg =22 kg \end{aligned}$