Calcolo del limite

No de l'Hôpital significa che rimangono da percorrere le vie di Taylor oppure dei limiti notevoli.

Essendo Taylor figlio di de l''Hôpital non rimangono che i limiti notevoli. La maggior parte dei quali fa riferimento a x→0. Necessita quindi un cambio di variabile.

Poniamo t = x - 1 cioè x = t + 1. Se x → 1 allora t→0. Sostituendo avremo un limite equivalente

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {sin 4\pi (t+1)}{sin \pi(t+1) } = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {sin (4\pi t)cos (4\pi) + cos(4\pi t) sin( 4\pi)}{sin( \pi t) cos (\pi) + cos(\pi t)sin (\pi)} = $ 

Semplifichiamo

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {sin (4\pi t)}{sin (\pi t) \cdot (-1)} = $

Portiamo fuori il meno e, dividiamo e moltiplichiamo per $(4\pi t)$

$ - \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {sin (4\pi t)}{sin( \pi t)} = - \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {sin (4\pi t)}{4\pi t} \cdot \frac {4  \pi t}{sin( \pi t)} = - 1 \cdot 4 = -4$