Calcolo dei limiti utilizzando il teorema di De l'Hopital

1/(5·x) + 2·LN(x)= (10·x·LN(x) + 1)/(5·x)

N(x)

LIM(10·x·LN(x) + 1) = 1

x-->0+

D(x)

LIM(5·x) = 0

x-->0+

Quindi è nella forma determinata (1/0), quindi:

LIM(1/(5·x) + 2·LN(x)) = +∞

x-->0+

---------------------------------

Per il secondo poni 1/x=t

x--->0+; t-->+inf

x·LN(x^2)^2 = 1/t·LN((1/t)^2)^2=

=LN(t^2)^2/t

Quindi applichi De L'Hopital al rapporto così ottenuto

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$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{5x} + 2ln x \right) = $

forma indeterminata del tipo ∞-∞

Mettiamo in evidenza il primo addendo

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{5x} \left(1 + \frac{2ln x}{\frac{1}{5x}} \right) = $

Il secondo addendo è una forma indeterminata del tipo ∞/∞ a cui applicare de l'Hôpital

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{5x} \left(1 + \frac{2}{-\frac{x}{5x^2}} \right) = $

$ =\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{5x} \left(1 - 10x \right) = +\infty$

Possiamo così concludere che il limite dato esiste e vale +∞

483

forma indeterminata del tipo 0*∞

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} xln^2(x^2) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{ln^2(x^2)} {\frac{1}{x}} $

ci siamo ricondotti a una forma indeterminata del tipo ∞/∞; possiamo, quindi, applicare de l'Hôpital.

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4ln(x^2)}{x \cdot (-\frac{1}{x^2})} \right) =$

$ = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} -4xln(x^2) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} -8xln(x) = 0 $

nota. Ho usato il poco famoso "ultimo limite notevole"

$ = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \cdot lnx = 0^- $