Sto provando a calcolare gli estremi sup. e inf. della f(x) = (e^x -1)/(e^x +1). Calcolando il limite a + e - infinito ho trovato che la funzione rimane sempre tra y=-1 e y=1 (non compresi). Come posso trovare gli estremi inf. e sup. ?
Sto provando a calcolare gli estremi sup. e inf. della f(x) = (e^x -1)/(e^x +1). Calcolando il limite a + e - infinito ho trovato che la funzione rimane sempre tra y=-1 e y=1 (non compresi). Come posso trovare gli estremi inf. e sup. ?
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Livello 0
Sono -1 e 1 ma ovviamente non sono il massimo e il minimo.
Potresti provare ad applicare le definizioni : che non supera mai 1 ma supera ogni numero minore di esso.
Senza usare le derivate puoi mostrare che é sempre crescente scrivendola come
1 - 2/(1 + e^x)
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Livello 7
@eidosm Provando a seguire la definizione: f(x) > 1-ε quindi e^x > -ln(ε). Questo visto che la funzione si avvicina sempre di piu` a 1 (senza toccarlo) (stessa cosa per -1) quindi il valore di f(x) risulta maggiore dei valori nell'intorno di 1-ε??
1 - 2/(e^x + 1) >= 1 - eps
2/(e^x + 1) <= eps
(e^x + 1)/2 >= 1/eps
e^x >= 2/eps - 1
x >= ln (2/eps - 1) é un intorno di +oo
@eidosm Perche` 1 - 2/(e^x + 1) ?
Perché é un modo equivalente di scrivere (e^x - 1)/(e^x + 1)
(e^x + 1 - 2)/(e^x + 1) = 1 - 2/(e^x + 1) e la disequazione viene scritta in modo più semplice.
Hai verificato che:
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 $
Consiglio. Se non esplicitamente richiesto non conviene usare, per il calcolo del Sup, la definizione (ε, δ)
In questo caso puoi usare il teorema del limite di una funzione monotona. Cosa dice il teorema?
Se la funzione f(x) è monotona (anche debolmente) allora
$Sup f(x) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$
Si tratta quindi di dimostrare la monotonia di f(x).
$ \forall x_1 \in \mathbb{R} ; \forall x_2\in \mathbb{R}; \; | \;x_1 \gt x_2 \; \implies \; f(x_1) \gt f(x_2)$ infatti
$ \frac{e^{x_1} - 1}{e^{x_1} + 1} \gt \frac{e^{x_2} - 1}{e^{x_2} + 1} $
$ (e^{x_1} - 1)(e^{x_2} + 1) \gt (e^{x_2} - 1)(e^{x_1} + 1) $
$ e^{x_1 + x_2} + e^{x_1} - e^{x_2} -1 \gt e^{x_1 + x_2} + e^{x_2} - e^{x_1} -1 $
$ 2\cdot e^{x_1} \gt 2\cdot e^{x_2} $
$ e^{x_1} \gt e^{x_2} $ e questa è vera visto che l'esponenziale a base maggiore di 1 è strettamente crescente.
E' una dimostrazione diretta, visto che ogni passaggio è supportato da un "se e solo se". e ti è più convincente puoi verificare la tesi applicando una dimostrazione per assurdo.
Abbiamo così dimostrato che Sup f(x) = 1.
Analogamente puoi procedere per dimostrare che Inf f(x) = -1, però, si può fare meno fatica se osservi che, la funzione f(x) è una funzione dispari, cioè
$f(-x) = - f(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}$
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Livello 3