Calcolo combinatorio

3·COMB(n + 2, n) = COMB(n + 3, n + 1)

3·(n + 2)!/((n + 2 - n)!·n!) = (n + 3)!/((n + 3 - (n + 1))!·(n + 1)!)

3·(n + 2)!/(2!·n!) = (n + 3)!/(2!·(n + 1)!)

3/(2!·n!) = (n + 3)/(2!·(n + 1)!)

3 = (n + 3)/(n + 1)

3·(n + 1) = n + 3

n = 0

sapendo che $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, trasformiamo tutto nella seconda forma in modo da poter operare con i numeri:

$3 \cdot \frac{(n+2)!}{n!(n+2-n)!}=\frac{(n+3)!}{(n+1)!(n+3-n-1)!}$

$ \frac{3}{2} \cdot \frac{(n+2)!}{n!} = \frac{(n+3)!}{(n+1)! \cdot 2}$

$\frac{3}{2} \cdot (n+2)(n+1) = (n+3)(n+2) \cdot \frac{1}{2}$

$3(n+2)(n+1)-(n+3)(n+2)=0$

$(n+2)(3n+3-n-3)=0$

$3(n+2)(2n)=0$

$6n(n+2)=0$

$n(n+2)=0$

È accettabile solo la soluzione $n=0$, perché per $n=-2$ si ha un parametro del coefficiente binomiale negativo.