Calcolo combinatorio.

a)

Sapendo che il nostro sistema di numerazione offre 10 cifre per rappresentare i numeri, possiamo formare $9 \times 10^5 = 900\ 000$ numeri di 6 cifre (la prima cifra non può essere $0$, altrimenti il numero non ha propriamente 6 cifre).

b)

Mentre possiamo formare ben $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5=136080$ numeri dalle cifre tutte distinte, la prima cifra non può essere $0$ per il motivo indicato precedentemente, la seconda può essere $0$, ma non può essere la prima cifra, la terza dovrà essere diversa dalle prime due ecc.

c)

Inoltre ci sono ben $317520$ numeri con solo due cifre uguali, perché se le cifre uguali sono disposte come $AABCDE$, allora le combinazioni possibili sono $9 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 15120$ numeri in cui la cifra uguale è la prima, mentre se questa non lo è potrebbe essere 0, a quel punto il numero potrebbe essere uno come $BAACDE$, quindi in quel caso i possibili diversi numeri sarebbero $9 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6=30240$, possiamo disporre $AA$ in $5C2= \binom{5}{2}=10$ posizioni diverse che non siano quelle in cui la cifra comune è la prima, quindi in totale saranno $30240 \times 10 + 15120=317520$ numeri con esattamente 2 cifre uguali.

d)

Se le cifre non sono tutte distinte significa che ci sono almeno due cifre uguali, quindi possiamo dire che ci sono $900\ 000 - 136080=763920$ numeri con almeno 2 cifre uguali.

e)

Basta escludere lo $0$ dal calcolo combinatorio iniziale per trovare che esistono $9^6=531441$ numeri che non contengono lo $0$ in $A$.

f)

Il primo carattere può essere scelto arbitrariamente tra 11, mentre i restanti 5 tra 20 lettere dell'alfabeto e 8 numeri, quindi nel complesso le combinazioni possibili sono:

$11 \cdot 28^5=189\ 314\ 048$

Mentre quelle composte solo da numeri sono 

$8^6$, quindi in percentuale corrisponde a $\frac{8^6}{189\ 314\ 048} \times 100 \approx 0.14\%$.