Calcolo aree con gli integrali

a. 

Le parabole passano per A(-4,0) e per B(0, 2)

a.1 Passa per A(-4, 0)

0 = 16k -(4k+1/2)4 + 2  ⇒  0 = 16k -16k -2 +2 ☺ 

a.2 Passa per B(0, 2)

2 = 2 ☺ 

b. retta $\bar{AB} $

Usiamo l'equazione segmentaria della retta

$ \frac{x}{-4} + \frac{y}{2} = 1 \quad  ⇒ \quad  y = \frac{x}{2} +2 $ 

c. Alcune parabole del fascio possono essere sopra la retta altre sotto. Calcoliamo l'area A del segmento parabolico calcolandone il valore assoluto.

$ A = |\int_{-4}^0 \frac{x}{2}+2-kx^2 -(4k+\frac{1}{2})x - 2 \, dx | $

$ A = |\int_{-4}^0 \frac{x}{2}-kx^2 -(4k+\frac{1}{2})x \, dx | $

$ A = |\int_{-4}^0 -kx^2 -4kx \, dx | $  

$ A = |\left. -k\frac{x^3}{3} - 2kx^2 \right|_{-4}^0 |$

$ A = |\left. -k\frac{x^3}{3} - 2kx^2 \right|_{-4}^0 |$

$ A = |k| \left. -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \right|_{-4}^0$

$ \frac{64}{3} = |k| \frac{32}{3} $

$ |k| = 2$

$ k = \pm 2$