Calcolo aree con gli integrali.

{y = √(ABS(x + 4))

{y = 2

risolvo:

ABS(x + 4) = 4

x = -8 ∨ x = 0

[-8, 2]

[0, 2]

∫(2 - √(-x - 4)) dx = 8/3

integrale valutato da x= -8 ad x =-4

∫(2 - √(x + 4)) dx = 8/3

integrale valutato da x= -4 ad x = 0

Α = 8/3 + 8/3 A = 16/3

Disegniamo su un grafico le due curve e la superficie A

Le due curva sono rami di parabole del tipo x = ay²+by+c.

Conviene integrare rispetto l'asse y, ricordando che la curva positiva e quella a dx.

Calcoliamo le due funzioni del tipo x=x(y)

• dalla $y=\sqrt{x+4}\Rightarrow x_1=y^2-4$  
• dalla $y=\sqrt{-x-4}\Rightarrow x_2=-y^2-4$ 

$A={\int }_0^2{x}_1(y)-x_2(y)dy$

$A={\int }_0^2{y}^2-4+y^2+4dy$

$A={\int }_0^{2}2\cdot y^{2}dy$

$A=2{\frac{y^3}{3}|}_0^2$

$A2\cdot \frac{8}{3}=\frac{16}{3}$

Un altro modo per risolverlo è quello di applicare una traslazione e notare che la traslata genera una funzione pari, quindi sarà sufficiente moltiplicare per 2 l'integrale tra 0 e 4 della y(x).