Nella figura a fianco è rappresentato il profilo interno schematizzato di una campana.
a. Determina le costanti $a, b$ e $c$ in modo tale che il grafico della funzione
$$
f(x)= \begin{cases}2 & \text { se } 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ a x^3+b x^2+c x & \text { se } \frac{1}{2}<x \leq \frac{3}{2}\end{cases}
$$
rappresenti l'arco $A B C$, tenendo presente che la funzione deve risultare derivabile in tutti i punti interni all'intervallo $\left[0 ; \frac{3}{2}\right]$.
b. Calcola il volume $V$ interno alla campana.
c. Schematizzando il batacchio con un segmento avente un estremo fissato nel punto $C$, determina l'ampiezza in gradi e minuti del massimo angolo di semiapertura $\alpha$ descritto dalla sua oscillazione.
$$
[\text { a) } a=4, b=-12, c=9 \text {; }
$$
b) $V=\frac{21}{10} \pi$; c) $\left.\alpha=\frac{\pi}{2}-\arctan (6 \sqrt{3}-9) \mathrm{rad} \simeq 35^{\circ} 41^{\prime}\right]$
