[Risolto] Calcolo

qui hai due opzioni. 

a) lo lasci così come è e nessuno ti può dire nulla.

b) usi un trucchetto, ma è difficile e non può venire richiesto ad uno studente di Liceo: devi vedere il $9-4\sqrt{5}$ scritto come 

$4+5-4\sqrt{5}$ e riconoscere che questo è il quadrato di $\sqrt{5}-2$, ovvero che sussiste l'uguaglianza

$4+5-4\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)^2$

Adesso puoi svolgere:

$\frac{-3+\sqrt{5}-2}{2}=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$

$\frac{-3-\sqrt{5}+2}{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Wolframalpha conferma

9 - 4 radice(5) = 4 + 5 - 4 radice(5) =

= 2^2 + [- radice(5)]^2 - 2 * 2 * radice(5) = [2 - radice(5)]^2;

radicequadrata{[2 - radice(5)]^2} = 2 - radice(5);

x = {- 3 +- [2 -radice(5)] } /2;

x1 = [-3 + 2 - radic(5)] / 2;

x1 = [-1 - radice(5)] /2;

x2 = [ - 3 - 2 + radice(5)] /2;

x2 = [- 5 + radice(5)] /2.

Ciao  @cpma

Ma il termine noto è √s o √5?
Spero sia vera la seconda ipotesi, se no il seguito non serve a nulla.
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Per l'equazione razionale intera di grado due
* x^2 + 3*x + √5 = (x - X1)*(x - X2) = 0
la somma delle radici è l'opposto del secondo coefficiente e il loro prodotto è il termine noto
* X1 + X2 = - 3
* X1 * X2 = √5
La procedura risolutiva (il calcolo richiesto) è quella pubblicata da Bramegupta nel VII secolo.
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A) Completare il quadrato dei termini variabili; sostituire; scrivere il termine noto come opposto di un quadrato; semplificare.
* x^2 + 3*x = (x + 3/2)^2 - (3/2)^2
* x^2 + 3*x + √5 = 0 ≡
≡ (x + 3/2)^2 - (3/2)^2 + √5 = 0 ≡
≡ (x + 3/2)^2 - (√(9 - 4*√5)/2)^2 = 0 ≡
≡ (x + 3/2)^2 - (√5/2 - 1)^2 = 0
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B) Applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati".
* (x + 3/2)^2 - (√5/2 - 1)^2 = 0 ≡
≡ (x + 3/2 + (√5/2 - 1))*(x + 3/2 - (√5/2 - 1)) = 0
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C) Applicare la legge d'annullamento del prodotto; semplificare.
* (x + 3/2 + (√5/2 - 1))*(x + 3/2 - (√5/2 - 1)) = 0 ≡
≡ (x + 3/2 + (√5/2 - 1) = 0) oppure (x + 3/2 - (√5/2 - 1) = 0) ≡
≡ (x + (1 + √5)/2 = 0) oppure (x + (5 - √5)/2 = 0)
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D) Distinguere le radici.
* X1 = - (1 + √5)/2 ~= - 1.618
* X2 = - (5 - √5)/2 ~= - 1.382
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E) Verificare con altri mezzi: vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E2--3*x--%E2%88%9A5%3D0
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Per il passaggio "√(9 - 4*√5)/2 = √5/2 - 1" vedi al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Radicale_doppio

rad(9 - 4 rad(5)) = rad( 9 - rad(80) )

essendo A^2 - B = 81 - 80 = 1 = 1^2

il radicale doppio é riducibile ed é pari a

rad [(9 +1)/2] - rad [(9 - 1)/2 ] = rad (5) - 2

per cui x1,2 = [-3 +- (rad(5) - 2)]/2

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$x_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{9-4\sqrt5}}{2}$

quindi:

$x_1= \dfrac{-3-\sqrt{9-4\sqrt5}}{2} \approx{-1,618034};$

$x_2= \dfrac{-3+\sqrt{9-4\sqrt5}}{2} \approx{-1,381966}.$

x^2+3x+√5 = 0

x = (-3±√9-4√5)/2 

9-4√5 = 4+5-4√5 = (-2+√5)^2, la cui √ altro non è che (-2+√5), pertanto :

x1 = (-3+(-2+√5))/2 = (-5+√5)/2 = √5(1-√5)/2

x2 = (-3-(-2+√5))/2 = (-1-√5)/2