Calcolare la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un'unità dei seguenti numeri naturali

serve la conoscenza mnemonica del quadrato dei numeri elementari :

2^2 = 4

3^2 = 9

4^2 = 16 

5^2 = 25

6^2 = 36

7^2 = 49

8^2 = 64 

9^2 = 81 

10^2 = 100

11^2 = 121 

12^2 = 144 

13^2 = 169

14^2 = 196

15^2 = 225

16^2 = 256 

è bene ricordare, inoltre , che il quadrato di uno di questi numeri  moltiplicato per 10 , altro non è che il quadrato di quel numero moltiplicato per 100 : 30^2 = 3^2*100 = 9*100 = 900 

procedura (metodo di Newton):

n = 1150

900 < 1150 <1600 

in numero cercato è compreso tra 30 e 40 , più prossimo a 30 che a 40  : supponiamo 34 

(34+1150/34)/2 = 33,91

n = 2506 

2500 < 2506 < 3600

in numero cercato è compreso tra 50 e 60 , più prossimo a 50 che a 60  : supponiamo 51 

(51+2506/51)/2 = 50,07

n = 2300

1600 < 2300 < 2500

in numero cercato è compreso tra 40 e 50 , più prossimo a 50 che a 40  : supponiamo 48 

(58+2300/58)/2 = 48,83

n = 4196

3600 < 4196 < 4900

in numero cercato è compreso tra 60 e 70 , più prossimo a 60 che a 70  : supponiamo 64 

(66+4196/66)/2 = 64,78

con un solo step di calcolo si ottengono corretti tanto la parte intera del numero cercato quanto il primo decimale 

Radice(1150) = 34 (circa);  sulle tavole prendi il quadrato perfetto più vicino.

Il quadrato perfetto più vicino a 1150 è 1156;

radice(1156) = 34;

34^2 = 1156.

radice(2506) = 50 (circa);

50^2 = 2500;  radice(2500) = 50.

radice(2300) = 48 (circa);

48^2 = 2304;  radice(2304) = 48.

radice(4196) = 65 circa

65^2 = 4225; è il quadrato perfetto più vicino a 4196.

Ciao  @giustot

Qualcosa "approssimata per difetto a meno di un'unità" (43 battute) si chiama "parte intera inferiore di" Qualcosa (25 battute) o, in maniera più sintetica, "floor di" Qualcosa (8 battute), e si scrive "floor(Qualcosa)" col complemento di specificazione fra parentesi tonde attaccato subito dopo il nome simbolico dell'operazione.
Così pure per la radice quadrata di Qualcosa si usa "sqrt(Qualcosa)".
Quello che l'esercizio chiede è
* floor(sqrt(N))
dove N sta per un numero naturale degli esercizi fotografati.
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Se t'interessano solo i risultati, tanto per vedere se l'hai calcolati bene, allora ti basta WolframAlpha che ti calcola le coppie {N, floor(sqrt(N))} con un semplice comando come questo per l'esercizio 55
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7BN%2Cfloor%28sqrt%28N%29%29%7D%2C%7BN%2C%7B31684%2C49729%2C50625%2C83521%7D%7D%5D
che produce l'elenco
* {{31684, 178}, {49729, 223}, {50625, 225}, {83521, 289}}
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Se invece t'interessa anche sapere come si fa, per poterlo fare da te quando WolframAlpha non è accessibile, allora il discorso s'allunga.
Nominato r il risultato richiesto
* r = floor(sqrt(n))
esso è l'unico naturale tale che
* r^2 = Σ [k = 1, r] (2*k - 1)
* r^2 <= n < (r + 1)^2
cioè
il quadrato di r è la somma dei primi r dispari di forma 2*k + 1 (da uno a 2*r - 1 per k da zero a r - 1) e non supera il radicando n; aggiungendo il prossimo dispari, 2*r + 1, si ha (r + 1)^2 che supera n.
Per fare questa ricerca usando le tavole numeriche i passi da fare dipendono dal numero di cifre del radicando e dall'estensione della Tavola delle Radici Quadrate.
Ammesso che la Tavola riporti le Radici Quadrate dei naturali minori di mille e che i radicandi abbiano più di tre cifre (se no basta leggere nella tavola), ti mostro la procedura su un esempio già visto: r = floor(sqrt(83521)) = 289.
83521 > 999: non è nella Tavola
Sostituisco due zeri per decine e unità: 83521 → 83500 = 835*10^2
√83500 = √(835*10^2) = 10*√835
835 < 1000: è nella Tavola, con √835 ~= 28.896
√83500 = √(835*10^2) = 10*√835 ~= 288.96
floor(sqrt(83500)) = 288; 288^2 = 82944
82944 è la somma dei primi 288 numeri dispari, da uno a 2*288 - 1 = 575
CHE SUCCEDE aggiungendo il prossimo dispari, 577?
82944 + 577 = 83521 = 289^2