Buonasera, qualcuno mi potrebbe aiutare in questo problema?
In una circonferenza di centro O, la corda AB misura 40 cm e l’area del triangolo ABO è 420cm2. Calcola il perimetro del triangolo.
Buonasera, qualcuno mi potrebbe aiutare in questo problema?
In una circonferenza di centro O, la corda AB misura 40 cm e l’area del triangolo ABO è 420cm2. Calcola il perimetro del triangolo.
La corda è la base del triangolo e la distanza della corda dal centro è l'altezza, quindi triangolo ABO:
altezza $h= \frac{2A}{b}=\frac{2×420}{40}=21~cm$;
raggio del cerchio = lato obliquo del triangolo:
$lo= \sqrt{21^2+\big(\frac{40}{2}\big)^2}=\sqrt{21^2+20^2}=29~cm ~(teorema ~di~ Pitagora)$;
perimetro $2p_{ABO}=b+2lo = 40+2×29 = 98~cm$.
Se vogliamo complicarci la vita, una diversa soluzione è:
L'area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso.
La lunghezza di una corda è pari al diametro per il seno dell'angolo alla circonferenza.
Valgono quindi le relazioni:
{ (1/2)*R²*sin(2a) = 420 (2a = angolo al centro compreso tra due raggi)
{40 = 2r*sin(a) (teorema della corda)
Ricaviamo della seconda:
r= 20/sin(a)
Sostituendo il valore di r nella prima equazione ricavo:
[200*sin(2a)]/(sin²(a)) = 420
tan(a) = 400/420
Sostituendo il valore dell'angolo nella prima equazione si ricava il valore di r= 29 cm
Il triangolo è isoscele sulla base AB (corda) e i due lati obliqui sono raggi di lunghezza r=29 cm
Perimetro del triangolo: 2p= 29*2+40= 98 cm
In una circonferenza di centro O, la corda AB misura 40 cm e l’area A del triangolo ABO è 420 cm2. Calcola il perimetro 2p del triangolo.
OH _l_ ad AB, pertanto, AOB essendo isoscele, AH = BH = 40/2 = 20 cm
OH = 2A / AB = 840/40 = 84/4 = 21 cm
OA = OB = √BH^2+OH^2 = √20^2+21^2 = √841 = 29 cm
perimetro 2p = 29*2+40 = 98 cm
Chiamo
c= lunghezza corda=40 cm ; r= raggio circonferenza ; h distanza corda dal centro O della circonferenza
Α = 1/2·c·h-----> 420 = 1/2·40·h-----> h = 21 cm
con Pitagora calcolo il raggio r:
r = √((c/2)^2 + h^2)----> r = √((40/2)^2 + 21^2)----> r = 29 cm
Il perimetro cercato è:
2·p = c + 2·r----> 2·p = 40 + 2·29----> 2·p = 98 cm