calcolare il limite con x che tende a +inf di una sommatoria con funzione parte intera di un esponenziale

Question

potete spiegarmi tutti i passaggi? Non ho proprio idea come iniziare a fare l'esercizio. Da quello che ho capito si può rendere anche come integrale ma non capisco quale sia la funzione integranda e che estremi prendere.... o forse mi sbaglio.

Grazie per l'aiutoooooo

Premessa. Dato $a \in R$ , definiamo la parte intera inferiore di a, indicata con $⌊ a ⌋$ , il più grande intero minore o uguale ad $a$ , ossia
$⌊ a ⌋ = max {k \in Z : k \leq a} .$
Ad esempio, se $a = π$ allora $⌊ a ⌋ = 3$ . Se $a = \frac{1}{3}$ , allora $⌊ a ⌋ = 0$ . Ed infine, se $a = - 10, 2$ allora $⌊ a ⌋ = - 11$
Osserviamo che ogni numero $a \in R$ si può scrivere come
$a = ⌊ a ⌋ + δ_{a}$
dove $δ_{a} \in (0, 1)$ .
Esercizio: Calcolare il valore del seguente limite
$lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} ⌊ e^{k / n} ⌋$

Autore

Risposta

amr_kw

(@amr_kw)

11 punti

livello:

Livello 0

6 Risposte
1 0 5

02/12/2022 16:03

EidosM · Accepted Answer

Se fisso un n

esisteranno alcuni k per cui quella parte intera é 1

e altri per cui é due,

passando la frazione k/n gradualmente da 0 a 1

l'argomento va da 1 a e la cui parte intera é 2.

Detto k* il valore di separazione risulta circa

e^(k*/n) = 2

che darebbe k*/n = ln 2

e k* = n ln 2 o meglio la sua parte intera

Quindi la somma é [1 * [ n ln 2 ] + 2 ( n - [ n ln 2 ] )] / n.

Quando n ->oo la differenza "n ln 2 - [n ln 2 ]" che é minore di 1

tende a scomparire se divisa per n per cui il limite é lo stesso che si avrebbe

omettendo l'operatore [ ]

lim_n->oo ( n ln 2 + 2n - 2n ln 2 )/n =

= ln 2 + 2 - 2 ln 2 =

= 2 - ln 2 ~ 1.307

EidosM

(@eidosm)

51088 punti

livello:

Livello 7

9688 Risposte
41 4363 1114

02/12/2022 16:17

giorgiaaaaaaaaaa....... · Answer

scusate ma è giusto come è scritto e il risultato è (In2) oppure (e-1)?

[Risolto] calcolare il limite con x che tende a +inf di una sommatoria con funzione parte intera di un esponenziale

Domande