[Risolto] Calcola l'area della regione finita di piano compresa tra le parabole di equazioni

\begin{cases}
y = x^2 \\
y = x^2 - 6x + 6
\end{cases}

\begin{cases}
y = x^2 \\
-6 =-6x \iff x = 1
\end{cases}

Quindi il punto di intersezione tra le parabole è $(1,1)\,$.

\begin{cases}
y = x^2 \\
y = -x
\end{cases}

\begin{cases}
y = x^2 + x \iff x(x + 1)\\
y = -x
\end{cases}

Quindi i punti di intersezione tra la parabola di equazione $y = x^2$ e la bisettrice sono $(0,0)$ e $(-1,1)\,$.

\begin{cases}
y = x^2 - 6x + 6 \\
y = -x
\end{cases}

\begin{cases}
0 = x^2 - 5x + 6 \iff (x - 2)(x - 3) = 0\\
y = -x
\end{cases}

Quindi i punti di intersezione, in questo caso, sono $(2,-2)$ e $(3,-3)\,$. Allora:

\[\int_{-1}^{0} \left(-x - x^2\right) dx = \left[-\frac{x^2}{2} -\frac{x^3}{3}\right]_{\substack{-1}}^{0} = \frac{5}{6}\]

\[\int_{1}^{2} \left(-x - x^2 +6x - 6\right) dx = \left[-\frac{x^3}{3} +\frac{5x^2}{2} - 6x\right]_{\substack{1}}^{2} = - \frac{5}{6}\,.\]

Allora l'area totale è 

\[\mathcal{A_{tot}} = \left|\frac{5}{6}\right| + \left|\frac{5}{6}\right| = \frac{5}{3}\,,\]

considerando i valori assoluti in quanto si considerano aree rispetto a topologie specifiche nel piano euclideo-cartesiano. Nel secondo calcolo integrale, si prende il valore assoluto in quanto risulta essere la curva superiore al di sotto di quella inferiore, ottenendo di conseguenza un'area negativa (apparente).

A1 = integrale tra 0 e 1 di:

x² - (-x)

x² + x

[x³/3 + x²/2] = 1/3+1/2= 5/6

A2 = integrale tra 1 e 2 di:

x² -6x + 6 - (-x)

x² -5x + 6

[x³/3 - 5x²/2 +6x] =

8/3 - 10 + 12 - (1/3 - 5/2 +6)=

8/3 +2 - 23/6 = (16+12-23)/6= 5/6

5/6 + 5/6 = 5/3

Ho provato a svolgerlo l' esercizio però a me il primo integrale viene diverso, non so se ho sbagliato qualcosa e se fosse nel caso qualcuno gentilmente può farmelo notare