Nella semicirconferenza di diametro $\overline{A B}=2 r$ in figura, esprimi in funzione dell angolo $x$ il rapporto tra $\overline{A P} \cdot \overline{C D}$ e l'area del triangolo $A C D$.
Calcola quindi il limite di tale rapporto al tendere $\operatorname{di} C$ ad $A$.
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grazie
Facendo riferimento alla figura allegata, dobbiamo ricordarci che:
"in un triangolo qualsiasi l'area è data dal prodotto della lunghezza di due lati per il seno dell'angolo tra essi compreso, il tutto fratto due"
Quindi:
AP*CD=2·r^2·SIN(x)·COS(x)
Per l'area ACD:
A(ACD)=
area triangolo equilatero OCD=1/2·r^2·SIN(pi/3) = √3·r^2/4
+
area OAC=1/2·r^2·SIN(2·x)
- (occhio meno!)
Quindi si tratta di calcolare il limite per x--->0 del rapporto:
2·r^2·SIN(x)·COS(x)/(√3·r^2/4 + 1/2·r^2·SIN(2·x) - 1/2·r^2·SIN(2·x + pi/3))
che assume la forma indeterminata (0/0)
Applichiamo De L'Hopital
N'(x)=4·r^2·COS(x)^2 - 2·r^2
D'(x)=r^2·SIN(2·x + pi/6)
per x--->0
N'(x)=2·r^2
D'(x)=r^2/2
Quindi il limite vale:
2·r^2/(r^2/2) = 4
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