CALCOLA I SEGUENTI LIMITI CON HOPITAL DOVE è APPROPRIATO.

Avendo constatato che é una forma indeterminata del tipo 0*oo lo riscriviamo come

lim_x->1+  cos (pi/2*x)/(1/ln(x-1)) che é 0/0

Prendendo le derivate

lim_x->1+ pi/2 *(- sin (pi/2 * x)) / (-1/ln^2(x - 1) * 1/(x - 1)) =

= - pi/2 * lim_x->0+  x ln^2(x) =

= - pi/2 * lim_x->0+   ln^2(x)/(1/x) =

= - pi/2 * lim_x->0+  2 ln x/x : (- 1/x^2) =

= pi * lim_x->0+ ln x/(1/x) =

= pi * lim_x->0+  1/x * (-1/x^2) =

= -pi * lim_x->0+ x = - pi*0 = 0

Faremo un cambio di variabile in modo da poter applicare l'ultimo dei limiti notevoli cioè

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} xlog(x) = 0$

Cambio variabile.

y = x - 1  ⇒ x = y + 1

inoltre, se x → 1⁺ allora y → 0⁺

Il nostro limite diventa

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} cos(\frac {π}{2}(y+1))\cdot ln(y)$

ora $cos(\frac {πy}{2} + \frac {π}{2}) = - sin(\frac {πy}{2})$     

per cui moltiplicando e dividendo per $(\frac {πy}{2})$ otteniamo

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} - \frac{sin(\frac {πy}{2})}{\frac {πy}{2}} \cdot \frac {π}{2} y \cdot log (y) = 1\cdot \frac {π}{2} \cdot 0 = 0 $

Abbiamo fatto uso dei seguenti limiti notevoli:

-) sin(x)/x → 1 per x → 0

-) x*log(x) = 0 per x → 0