[Risolto] CALCOLA I SEGUENTI LIMITI CON HOPITAL DOVE è APPROPRIATO.

Calcoliamo la forma del limite:

(√(3 + x) - 2·x^(1/3))/(x^2 + 2·x - 3)  per x-->1

N(x)=√(3 + x) - 2·x^(1/3): N(1)=√(3 + 1) - 2·1^(1/3)= 0

D(x)=x^2 + 2·x - 3 : D(1)=1^2 + 2·1 - 3 = 0

Quindi il limite assume la forma (0/0) indeterminata. Applichiamo quindi De L'Hopital

N'(x)=(3·x^(2/3) - 4·√(x + 3))/(6·x^(2/3)·√(x + 3))

D'(x)=2·x + 2

Quindi:

N'(1)=(3·1^(2/3) - 4·√(1 + 3))/(6·1^(2/3)·√(1 + 3)) = - 5/12

D'(1)=2·1 + 2= 4

Ne consegue forma determinata:

(- 5/12)/4 = - 5/48

Per cui è possibile dire che:

LIM((√(3 + x) - 2·x^(1/3))/(x^2 + 2·x - 3)) = -5/48

x--> 1

Forma indeterminata del tipo 0/0.

Applichiamo de l'Hôpital 

$ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac {3\sqrt[3]{x^2} - 4\sqrt{x+3}} {6\sqrt{x+3}\sqrt[3]{x^2}} \cdot \frac{1}{2x+2} = \frac {3-8}{6\cdot2\cdot4} = -\frac{5}{48} $

Possiamo così concludere che il limite dato vale -5/48.