2173
punti
Livello 2
Problema:
Si individui il valore del seguente limite:
$\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{\sin x²}{1- \cos x})$.
Soluzione:
Il limite può essere individuato facilmente tramite l'utilizzo delle tendenze asintotiche:
$ε(x) \rightarrow 0$, $\sin (ε(x))$ ~ $ε(x)$
$ε(x) \rightarrow 0$, $1-\cos (ε(x))$ ~ $\frac{ε²(x)}{2}$
$\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{\sin x²}{1- \cos x})=\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{x²}{\frac{x²}{2}})=2$
2512
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Livello 4
Conviene procedere per la via algebrica. Dividiamo e moltiplichiamo per x².
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac {x^2}{1-cos(x)} = 1 \cdot 2 = 2$
Abbiamo usato i due limiti notevoli:
$⊳ \frac{sin(x)}{x} \to 1; \quad \text{per}\,\, x \to 0 $
$⊳ \frac{x^2}{1-cos(x)} \to 2; \quad \text{per}\,\, x \to 0 $
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Livello 2