[Risolto] Calcola eventuali punti di discontinuità e di non derivabilità. AIUTOOO, tema : studio delle funzioni, Derivate e grafico

Ciao!
 $$ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x^2-1} & x < 3 \\ ln(x+2) & x \geq 3 \end{cases} $$

Prima di tutto facciamo le condizioni di esistenza delle due funzioni separatamente:

per la prima: $ x^2-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1 $ 

ma possiamo considerare solo i punti $x < 3$, e tutti e due i punti sono compresi in questo intervallo. Quindi: $ x= \pm 1 $ sono due punti di discontinuità.

Studiandone il limite possiamo vedere facilmente che sono punti di discontinuità di seconda specie (perché i limiti fanno $\infty$)

Per la seconda funzione: dato che è un logaritmo dobbiamo imporre la positività del suo argomento, cioè $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$, ma possiamo considerare solo valori $ x \geq 2$, quindi tutti i punti in esame soddisfano la condizione di esistenza $\Rightarrow$ non vi sono punti di discontinuità per quanto riguarda la seconda funzione.

Dopo aver studiato la continuità delle singole funzioni che compongono la funzione studiamo la continuità nel punto in cui si incollano, cioè $x = 3$. Per farlo, verifichiamo la definizione di continuità in un punto $x_0$:

$$\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = f(x_0)$$

$f(x_0) = f(3) = ln(3+2) = ln(5)$

$\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^+} ln(x+2) = lim_{x \rightarrow 3^+} ln(3+2) = ln(5) $

MA 

$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^-} \frac{x^2-4}{x^2-1} = \lim_{x \rightarrow 3^-} \frac{3^2-4}{3^2-1} = \frac{ 9-4}{9-1} = \frac58 $

e, purtroppo, $\frac58 \neq ln(5)$, quindi anche $x = 3$ è un punto di discontinuità.

Attenzione: $x = \pm 1$ e $x = 3$ sono entrambi punti di discontinuità, ma di diverso "tipo": nel primo caso, i punti vengono esclusi dal dominio, ma $ x= 3$ rimane ugualmente nel dominio, anche se presenta una discontinuità. Questa osservazione è fondamentale per lo studio dei punti di non derivabilità.

Facciamo la derivata:

 $$ f'(x) = \begin{cases}( \frac{x^2-4}{x^2-1})'& x < 3 \\ (ln(x+2))' & x \geq 3 \end{cases} $$

$$ f'(x) = \begin{cases} \frac{(2x)(x^2-1)-(x^2-4)(2x)}{(x^2-1)^2} & x < 3 \\ \frac{1}{x+2} & x \geq 3 \end{cases} $$

$$ f'(x) = \begin{cases} \frac{6x}{(x^2-1)^2} & x < 3 \\ \frac{1}{x+2} & x \geq 3 \end{cases} $$

Rifacciamo gli stessi passaggi: 

la prima funzione ha come condizione di esistenza sempre $ x \neq \pm 1 $, ma $x \neq \pm 1 $ sono punti che abbiamo già escluso dal dominio quindi non possono essere punti di non derivabilità!

Per essere punti di derivabilità, infatti, devono essere per prima cosa punti del dominio. 

Infatti definiamo punto di non derivabilità un punto $x_0$ del dominio in cui la derivata non esiste oppure in $x_0$ la derivata è discontinua. 

La seconda funzione, invece, ha condizione di esistenza $ x \neq -2$ ma, come prima, non rientra nei punti considerabili per la funzione ($ x \geq 3$ )

Dovremmo studiare anche il punto di incontro delle due funzioni? No, perché se non vi è continuità sicuramente  non vi è derivabilità. Quindi sappiamo che è un punto di non derivabilità.