L'esercizio #119 si compone di tre parti distinte tese a verificare diverse capacità cognitive del risolutore.
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La PRIMA PARTE è la solita narrativa che descrive una situazione problematica mascherandone la natura matematica dentro un mare di chiacchiere superflue; la verifica è «Vedi se sei capace di estrarre dalle frasi in italiano il modello matematico del problema descritto».
* "ciascuno dei due" ≡ sia "a" che "b"
* "ottava parte della somma fra il proprio quadrato e 25" ≡ (a^2 + 25)/8 oppure (b^2 + 25)/8
* "ciascuno dei due è eguale all'ottava parte" ≡ (a = (a^2 + 25)/8) e pure (b = (b^2 + 25)/8)
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Avendo ottenuto due espressioni identiche (salvo il nome della variabile, irrilevante in un modello matematico: è la struttura che conta!) si conclude che il modello estratto dalla descrizione è l'equazione
* x = (x^2 + 25)/8 ≡
≡ 8*x = x^2 + 25 ≡
≡ x^2 - 8*x + 25 = 0
che, così ridotta alla forma normale canonica, mostra la struttura del trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri (le radici dell'equazione, i "numeri fortunati" in narrativa)
* X = (s ± √Δ)/2
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
tali che
* X1 <= X2 (se reali)
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto).
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Un'equazione di secondo grado in x con (s, p) reali ha radici X1 e X2 distinte se Δ è non nullo:
* X1 e X2 complesse coniugate se Δ < 0
* reali se Δ > 0.
Se (s, p) non sono entrambi reali si deve vedere caso per caso.
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Qui si hanno (s, p) entrambi reali con valori
* X1 + X2 = s = 8 (somma)
* X1 * X2 = p = 25 (prodotto)
che consentono l'interpretazione delle frasi finali.
* "muovi verso Est ... quant'è la somma" ≡ muovere otto passi verso Est
* "arretra verso Ovest ... quant'è il prodotto" ≡ muovere venticinque passi verso Ovest
per poi scavare a 25 - 8 = 17 passi a Ovest della posizione iniziale.
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NOTA: l'autore dell'esercizio è da insufficienza in grammatica.
Est, Nord, Ovest, Sud sono nomi proprii: la maiuscola è obbligatoria.
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La SECONDA PARTE consiste di due quesiti; la verifica è «Vedi se ciò che hai scritto nella prima parte l'hai anche ben compreso e se ne sai esplicitare il significato».
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a) Qual è il "tipo" di X1 e X2: per dirlo occorre il segno del discriminante
* Δ = s^2 − 4*p = 8^2 − 4*25 = - 36 < 0
Il discriminante negativo dice che X1 e X2 hanno valori:
* entrambi complessi se s è reale;
* entrambi immaginarii se e solo se s è immaginario e diverso da i*√Δ;
* uno reale se e solo se s è complesso con parte immaginaria ± i*√Δ.
L'essere (s, p) entrambi reali dice che X1 e X2 hanno valori complessi coniugati.
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b) "Dov'è ...": 17 passi a Ovest della posizione iniziale.
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La TERZA PARTE ("Rifletti sulla teoria") consiste della richiesta di motivare un'affermazione falsa.
Non è affatto vero che "se un'equazione ... allora queste sono coniugate": lo sono se e solo se (s, p) sono entrambi reali, altrimenti si deve vedere caso per caso.
Questa è una tipica "domanda trabocchetto" intesa a dare un voto premiale a chi dà la risposta corretta di cui sopra, ma senza penalizzare chi cade nel trabocchetto; la verifica, che tende ad accertare la presenza di capacità superiori a "Conoscenza, Comprensione, Applicazione", è «Vedi se sei capace di avere libertà di giudizio anche di fronte all'autorità di chi ti propone l'esercizio.».
