In base alle regole di derivazione deve risultare:
f(x)= x·COS(x)-----> f'(x) = COS(x) - x·SIN(x)
Vediamo la risoluzione in base alla definizione partendo dal rapporto incrementale:
((x + h)·COS(x + h) - x·COS(x))/h
e passando infine al limite per h → 0 di tale rapporto
Vediamo di semplificare il numeratore di tale rapporto:
(x + h)·(COS(x)·COS(h) - SIN(x)·SIN(h)) - x·COS(x) =
=(x·COS(h)·COS(x) + h·COS(h)·COS(x) - x·SIN(h)·SIN(x) - h·SIN(h)·SIN(x)) - x·COS(x)
Se osservi bene il primo e l'ultimo termine si semplificano( si elidono).
Rimangono quindi 3 termini per cui il rapporto incrementale diventa:
(h·COS(h)·COS(x) - x·SIN(h)·SIN(x) - h·SIN(h)·SIN(x))/h=
Ed i tre limiti per h → 0 forniscono:
LIM(h·COS(h)·COS(x)/h) = COS(x)
h → 0
LIM(x·SIN(h)·SIN(x)/h)= x·SIN(x)
h → 0
Il terzo limite è nullo!!
In definitiva rimane: f'(x) = COS(x) - x·SIN(x)