Calcola la funzione derivata, applicando la definizione
f(x)=x*cosx
lim h->0 ((x+h)*cos(x+h)-x*cosx)/h
Ho svolto l' espressione cos(x+h) come cosx*cosh-sinx*sinh
Quindi:
limh->0 (x+h) * (cosx*cosh)/h - sinx * (sinh)/h , dove sinh/h=1
e qui mi sono bloccato, gentilmente potreste darmi un chiarimento? Grazie
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Livello 1
In base alle regole di derivazione deve risultare:
f(x)= x·COS(x)-----> f'(x) = COS(x) - x·SIN(x)
Vediamo la risoluzione in base alla definizione partendo dal rapporto incrementale:
((x + h)·COS(x + h) - x·COS(x))/h
e passando infine al limite per h → 0 di tale rapporto
Vediamo di semplificare il numeratore di tale rapporto:
(x + h)·(COS(x)·COS(h) - SIN(x)·SIN(h)) - x·COS(x) =
=(x·COS(h)·COS(x) + h·COS(h)·COS(x) - x·SIN(h)·SIN(x) - h·SIN(h)·SIN(x)) - x·COS(x)
Se osservi bene il primo e l'ultimo termine si semplificano( si elidono).
Rimangono quindi 3 termini per cui il rapporto incrementale diventa:
(h·COS(h)·COS(x) - x·SIN(h)·SIN(x) - h·SIN(h)·SIN(x))/h=
Ed i tre limiti per h → 0 forniscono:
LIM(h·COS(h)·COS(x)/h) = COS(x)
h → 0
LIM(x·SIN(h)·SIN(x)/h)= x·SIN(x)
h → 0
Il terzo limite è nullo!!
In definitiva rimane: f'(x) = COS(x) - x·SIN(x)
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Genius II
