[Risolto] Parabola

retta per i punti A (1; 0) e B (3; - 1):

y = m x + q;  sostituiamo le coordinate dei due punti a x e y.

0 = m * 1 + q; (1)

- 1 = 3 m + q;  (2)

m = - q; [dalla 1, sostituiamo m nella (2)];

- 1 = - 3q + q;

- 2q = - 1;

q = + 1/2;

m = - 1/2;

y = - 1/2 x + 1/2; equazione della retta.

Parabola per i punti: D(0; -4); sull'asse y. 

A (1; 0) ;  E (4; 0); sull'asse x; 

y = a x^2 + bx + c

Sostituiamo la coordinate:

D (0; -4):

- 4 = 0 + 0 + c;

c = - 4; (1)

A (1; 0):

0 = a + b - 4;

a + b = 4;  (2)  allora:   b = 4 - a

E(4; 0):

0 = 16 a + 4b - 4; semplifichiamo per 4;

4a + b - 1 = 0;  (3)   b = 4 - a ;  dalla (2);

4a + 4 - a - 1 = 0;

3a = 1 - 4;

a = - 3/3 = - 1;

b = 4 - (-1) = 5;

c = - 4.

Parabola 

y = - x^2 + 5x - 4.

y = - 1/2 x + 1/2.

Intersezioni retta  parabola:

- x^2 + 5x - 4 = - 1/2 x + 1/2;  (moltiplichiamo per 2);

- 2x^2 + 10x - 8 = - x + 1;

- 2x^2 + 11x - 9 = 0;

2x^2 - 11x + 9 = 0;

x = [+ 11 +- radice(11^2 - 4 * 2 * 9)] / 4;

x = [+ 11 +- radice(121 - 72)]/4;

x = [+11 +- radice(49)] /4;

x1 = [+ 11 + 7] /4;

x1 = 18/4 = 9/2; sostituiamo nella retta y = - 1/2 x + 1/2.

y1 = - 1/2 * (9/2)  + 1/2 = - 9/4 + 1/2 = - 7/4.

Punto P (9/2; - 7/4); punto di intersezione richiesto.

L'altro punto è noto: A (1; 0)

x2 = [+ 11 - 7] / 4;

x2 =  4/4 = 1;

y2 = -1/2 * 1 + 1/2;

y2 = 0.

Ciao @aiutatemivipregooo

y = a·(x - 1)·(x - 4) è la parabola

Il passaggio per [0, -4] permette di determinare a:

-4 = a·(0 - 1)·(0 - 4)-----> -4 = 4·a----> a = -1

y = (-1)·(x - 1)·(x - 4)----> y = - x^2 + 5·x - 4

determini poi la retta per i due punti:

[1, 0]

[3, -1]

(y - 0)/(x - 1) = (-1 - 0)/(3 - 1)----> y/(x - 1) = - 1/2

quindi metti a sistema retta e parabola:

{y = 1/2 - x/2

{y = - x^2 + 5·x - 4

procedi per sostituzione:

1/2 - x/2 = - x^2 + 5·x - 4

(1/2 - x/2 = - x^2 + 5·x - 4)·2

1 - x + 2·(x^2 - 5·x + 4) = 0

2·x^2 - 11·x + 9 = 0

risolvi ed ottieni:

x = 9/2 ∨ x = 1

In definitiva le due intersezioni:

x = 9/2---> y = 1/2 - 9/2/2---> y = - 7/4-----> [9/2,-7/4]

l'altra è data nel disegno . Quindi recapitolando la soluzione del sistema è:

[x = 1 ∧ y = 0, x = 9/2 ∧ y = - 7/4]

non leggo di traverso
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DAL GRAFICO
La parabola Γ ha zeri A(1, 0) o B(4, 0) e passa per C(0, - 4).
La retta s congiunge P(1, 0) con Q(3, - 1).
EQUAZIONI
* PQ ≡ s ≡ y = (1 - x)/2
* Γ(a) ≡ y = a*(x - 1)*(x - 4)
* Γ(0) ≡ y = a*(0 - 1)*(0 - 4) = - 4 ≡ a = - 1
* Γ(- 1) ≡ y = - (x - 1)*(x - 4) ≡ y = - x^2 + 5*x - 4
SISTEMA DEI PUNTI COMUNI
* s & Γ ≡ (y = (1 - x)/2) & (y = - x^2 + 5*x - 4) ≡
≡ (y = (1 - x)/2) & ((1 - x)/2 = - x^2 + 5*x - 4) ≡
≡ ((1 - x)/2 = - x^2 + 5*x - 4) & (y = (1 - x)/2) ≡
≡ ((1 - x)/2 - (- x^2 + 5*x - 4) = 0) & (y = (1 - x)/2) ≡
≡ (x^2 - (11/2)*x + 9/2 = 0) & (y = (1 - x)/2) ≡
≡ ((x = 1) oppure (x = 9/2)) & (y = (1 - x)/2) ≡
≡ (x = 1) & (y = (1 - x)/2) oppure (x = 9/2) & (y = (1 - x)/2) ≡
≡ (x = 1) & (y = 0) oppure (x = 9/2) & (y = - 7/4)