Ho calcolato gli angoli interni al triangolo ACE ovvero 90°+x/2 + (angolo alpha)= 180°
Quindi x/2 = 90°-alpha dato che il triangolo è isoscele ho tracciato l' altezza EH (come consigliato dal testo)
Calcolato AH= 9*cos(alpha)
HE= 9*sin(alpha)
AB=12 cos(alpha)
Poi dovrei calcolare l'area del triangolo come 2(AH*HE) ?
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Livello 1
altezza EH:
EH = 9 * cos(x/2);
base AC:
AC = 2 * 9 * sen(x/2) = 18 sen(x/2);
Area triangolo:
A = [18 sen(x/2) * 9 cos(x/2)] /2;
A = 81 sen(x/2) cos(x/2);
2 * sen(α) cos(α) = sen(2α);
sen(α) cos(α) = sen(2α) / 2; ( formula di duplicazione);
A = 81 sen(x/2) cos(x/2);
A = 81 * sen(x) /2 = (81/2) * sen(x) area triangolo ACE.
AC = AB + BC; somma dei due diametri;
AB + BC = 18 sen(x/2);
AB = 2 BC
2 BC + BC = 18 sen(x/2);
3 BC = 18 sen(x/2);
BC = 6 sen(x/2); diametro semicerchio minore;
r1 = BC/2 = 3 sen(x/2);
AB = 12 sen(x/2), diametro semicerchio maggiore,
r2 = AB/2 = 6 sen(x/2);
Area 1 semicerchio minore; A1 = 1/2 * π r^2 ; (metà cerchio);
A1 = 1/2 * π * 3^2 sen^2(x/2) = (9/2) π sen^2(x/2) ;
Area 2 semicerchio maggiore;
A2 = 1/2 π * 6^2 sen^2(x/2) = (36/2) π sen^2(x/2) ;
A2 = 18 π sen^2(x/2);
A1 + A2 = (9/2 + 18) π sen^2(x/2) = (45/2) π sen^2(x/2);
Area triangolo = (81/2) * sen(x);
Area triangolo = 81 sen(x/2) cos(x/2); meglio se scritta in questo modo, si semplifica il rapporto;
rapporto = (A1 + A2) / (Area triangolo):
rapporto = (45/2) π sen^2(x/2) /[81 sen(x/2) cos(x/2)] =
= (5/18) sen(x/2) / cos(x/2);
lim x---> 0 [(5/18) sen(x/2) / cos(x/2)] =
(Per x che tende a 0, sen(0/2) = 0; al numeratore;
al denominatore cos(0/2) = 1);
= 5/18 * 0 / 1 = 0.
il rapporto tende a 0.
@carlitosalberto_castagna ciao
Ho completato l'esercizio... è simpatico!
ciao di nuovo @carlitosalberto_castagna
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Genius II
@mg Buona sera,grazie per il chiarimento,posso chiedere solo un chiarimento per il limite proposto nell' esercizio? Ho trovato i valori delle aree dei semicerchi ora solo il limite mi è rimasto
@mg Lim x->0 (18 pi * sin^2(x/2)+9 pi * sin^2(x/2))/81/2 sin (x)
lim x->0 (27 pi * sin^2(x/2))/81/2 sin(x)
lim x->0 (2 sin^2(x/2))/3 sin(x)
lim x->0 (2 pi * 2/2 sin^2 (x/2))/3 sin(x)
lim x->0 (4 pi * sin^2(2x/2))/3 sin(x)
lim x-> 0 (4 pi * sin^2(x)/3 sin(x)
lim x-> 0 (4 pi sin(x))/3 = 0
Se può gentilmente correggere ciò che ho scritto
la somma delle aree dei due triangoli è
A1 + A2 = (9/2 + 18) π sen^2(x/2) = (45/2) π sen^2(x/2), sono due semicerchi, tu hai 27, secondo me sbagliato. Però il limite non cambia, tende a 0.
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Livello 5
(la mia lavagna è veramente sporca, lo so, debbo pulirla il prima possibile).
