Calcolare la derivata della funzione data
y=1/2 e^x (sinx+cosx) - e^x cosx
Avendo posto e^x in evidenza ottengo:
y= e^x[1/2 (sinx+cosx) - cosx]
ma svolgendo la derivata della somma di due funzioni ovviamente non ottengo nulla,ho provato anche moltiplicare e dividere per sinx+cosx per avere una differenza di due quadrati ma non ottengo nulla. Posso avere un chiarimento? Grazie mille
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Livello 1
\[y = \frac{1}{2}e^x (\sin{x} + \cos{x}) - e^x \cos{x} \implies \frac{1}{2}e^x (\sin{x} - \cos{x})\]
Applicando la regola di derivazione di Leibniz
\[\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{2}(\sin{x} - \cos{x}) + \frac{e^x}{2}(\cos{x} + \sin{x}) = e^x\sin{x}\,.\]
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Livello 5
@enrico_bufacchi Buonasera,grazie mille per il chiarimento
Dopo che l'hai ridotta in
y = 1/2 e^x ( sin x - cos x )
fai la derivata del prodotto
y' = 1/2 e^x ( sin x - cos x ) + 1/2 e^x ( cos x + sin x ) =
= 1/2 e^x * 2 sin x = e^x sin x
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Livello 7
@eidosm Buonasera,grazie vivamente per il chiarimento
Per dare un chiarimento dovrei prima chiarire a me il senso di "ovviamente", "ho provato", "non ottengo nulla", che in questo contesto non comprendo; perciò ti mostro banalmente la sola applicazione delle regole al tuo caso, dopo aver procurato da altre fonti l'obiettivo da conseguire.
Se ho ben capito la tua funzione derivanda è
* y = ((sin(x) + cos(x))/2 - cos(x))*e^x = ((sin(x) - cos(x))/2)*e^x
http://www.wolframalpha.com/input?i=d%2Fdx+%28%28sin%28x%29-cos%28x%29%29%2F2%29*e%5Ex
che si deriva con la regola
* D[f(x)*g(x)] = g*D[f] + f*D[g]
ottenendo
* D[((sin(x) - cos(x))/2)*e^x] =
= (e^x)*D[(sin(x) - cos(x))/2] + ((sin(x) - cos(x))/2)*D[e^x] =
= (e^x)*(D[sin(x)] - D[cos(x)])/2 + ((sin(x) - cos(x))/2)*e^x =
= (e^x)*(cos(x) + sin(x))/2 + ((sin(x) - cos(x))/2)*e^x =
= (e^x)*((cos(x) + sin(x))/2 + (sin(x) - cos(x))/2) =
= (e^x)*sin(x)
coincidente con quanto calcolato da WolframAlpha.
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Genius I
