Buonasera, scusatemi il disturbo volevo chiedere un aiuto per questo esercizio.Grazie mille

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\log{(2x + 2h + 1)} - \log{(2x + 1)}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\log{(\frac{2x + 2h + 1}{2x + 1})}}{h} \implies\]

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\log{\left( \left(\frac{2x + 2h + 1}{2x + 1}\right) \right)}}{h} \implies\]

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\log{\left( \left(1 + \frac{2h}{2x + 1}\right) \right)}}{h} \implies\]

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\log{\left( \left(1 + \frac{2h}{2x + 1}\right) \right)}}{\frac{2h}{2x + 1} \cdot \frac{2x + 1}{2}} \approx 1 \cdot \frac{2}{2x + 1}\,.\]

Oppure, avresti potuto sviluppare tramite gli sviluppi in serie di Taylor 

\[\log{\left(1 + \frac{2h}{2x + 1}\right)} \approx \frac{2h}{2x + 1} \implies\]

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\frac{2h}{2x + 1}}{h} = \frac{2}{2x + 1}\,.\]

fissato xo nel dominio 2x + 1 > 0 ( xo > -1/2 )

Df = ln (2xo + 2h + 1) - ln (2xo + 1)

Dx = h

rf [xo, h] = 1/h * ln [ (2xo + 2h + 1)/(2xo + 1) ]

avendo usato la proprietà del rapporto per i logaritmi.

Si deve ora determinare  lim_h->0 rf(xo, h)

che si presenta in forma indeterminata del tipo 0/0

lim_h->0 ln [ 1 + 2h/(2xo + 1) ]/h =

= lim_h->0 ln (1 + bh)/h =

[b = 2/(2xo + 1)]

= b lim_h->0 ln (1 + bh)/(bh) =

= b lim_y->0 ln (1 + y)/y = b

il limite rimasto é un limite notevole che vale 1

b = 2/(2xo + 1)

Ripetendo il ragionamento svolto per ogni xo nel dominio

y'(x) = 2/(2x+1)

ln(x) = 1/x

f(x) = ln(2x + 1)

f'(x) = 2*1*x^0 + 0 /(2x + 1)

f'(x) = 2/(2x +1)