Determina l'equazione di un'ellisse con centro nell'origine e i fuochi sull'asse x, che ha la somma delle misure degli assi che vale 6 e l'eccentricità uguale a √3 linea di frazione 2 . Trova quindi l'equazione della tangente nel suo punto di ascissa √3 del primo quadrante.
2
punti
Livello 0
2a + 2b = 6
c/a = rad(3/2)
significa
a + b = 3
a^2 - b^2 = 3/4 a^2
1/4 a^2 = b^2
a = 2b
2b + b = 3
b = 3/3 = 1
a = 2
L'equazione é x^2/4 + y^2 = 1
se x = rad 3
3/4 + y^2 = 1
y^2 = 1/4
y = 1/2
Per la formula di sdoppiamento
la tangente ha equazione
xo x/4 + yo y = 1
rad(3)/4 x + 1/2 y = 1
y = - rad(3)/2 x + 2
45535
punti
Livello 7
459
punti
Livello 1
Ogni ellisse con centro nell'origine e fuochi su un asse coordinato ha equazione della forma
* Γ(a, b) ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con semiassi (a, b) positivi; se i fuochi sono sull'asse x allora
* Γ(a, b) ≡ ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1) & (a > b > 0)
da cui semidistanza focale "c" ed eccentricità "e"
* c = √(a^2 - b^2)
* e = c/a = √(1 - (b/a)^2)
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"somma delle misure degli assi che vale 6" ≡ 2*a + 2*b = 6
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"eccentricità uguale a √3 linea di frazione 2" ≡ √(1 - (b/a)^2) = √3/2
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* (2*a + 2*b = 6) & (√(1 - (b/a)^2) = √3/2) & (a > b > 0) ≡
≡ (a = 2) & (b = 1)
da cui l'equazione richiesta
* Γ ≡ (x/2)^2 + (y/1)^2 = 1 ≡ x^2 + 4*y^2 - 4 = 0
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I punti di Γ "di ascissa √3" hanno ordinate
* (√3/2)^2 + (y/1)^2 = 1 ≡ y = ± 1/2
e quello nel primo quadrante è T(√3, 1/2) dove la pendenza è m = - √3/2.
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La richiesta retta tangente in T s scrive per sdoppiamento
* t ≡ x*√3 + 4*y*1/2 - 4 = 0 ≡ y = (4 - (√3)*x)/2
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2-%28%E2%88%9A3%2F2%29*x%2Cx%5E2-4%3D-4*y%5E2%5D
57171
punti
Genius I
