[Risolto] Buonasera potete risolverlo grazie

PRIMA FIGURA

Il raggio di ogni quarto di circonferenza è metà del lato del quadrato, dunque 8cm:2=4cm.

L'area del quadrato è dato dal lato alla seconda, quindi A_1=8²cm²=64cm². L'area di un quarto di circonferenza è un quarto dell'area di un cerchio di raggio 4cm, dunque A_2=(π4²cm²):4=(16πcm²)/4=4πcm².

Per trovare l'area interna alla zona colorata basta sottrarre dall'area del quadrato la somma delle quattro area dei quarti di circonferenza. Quindi

A_3=A_1-4A_2=64cm²-4*(4πcm²)=64cm²-16πcm²=(64-16π)cm².

Per trovare l'area della zona colorata è sufficiente sottrarre dall'area del quadrato interno l'area della parte interna della zona colorata. Il quadrato interno ha per lato L=√(4²+4²)cm=√32cm (in quanto i lati del quadrato hanno per estremi i punti medi di ciascun lato del quadrato esterno). Dunque l'area del quadrato interno è A_4=(√32cm)²=32cm².

Pertanto l'area della zona colorata è

A_4-A_3=32cm²-64cm²+16πcm²=16πcm²-32cm²

SECONDA FIGURA

Le aree A_1, A_2, A_3 sono le stesse della prima figura. 

Il raggio del cerchio interno è uguale a metà diagonale del quadrato grande meno il raggio dei quarti di circonferenza. La diagonale del quadrato misura d=√(8²+8²)cm=8√2cm. Il raggio dunque è R=8√2cm-4cm. L'area del cerchio è A_5=πR²=π(8√2-4)²cm².

Dunque la zona colorata è data da

A_5+4A_2=16πcm²+π(8√2-4)cm²=16πcm²+8π√2cm²-4πcm²=8π√2cm²+12πcm²

177.1

4*(π*4^2/4-4^2/2)

4^2(π-2) ....18,2654

177.2

raggio del cechio piccolo r = 4√2-4 =4(√2-1)

area A = π(4^2+(4(√2-1))^2) = π16(1+(3-2√2) = 18,7452π

177 sinistra
Taglia in quattro la figura e rigira i pezzi fino a vedere un cerchio.
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Area del cerchio di raggio r: C = π*r^2
Area del suo quadrato inscritto di lato (√2)*r: Q = 2*r^2
Area della zona colorata
* S(r) = C - Q = π*r^2 - 2*r^2 = (π - 2)*r^2
da cui
* S(4 cm) = (π - 2)*4^2 ~= 18.265482 ~= 18.27 cm^2
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177 destra
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Anche qui i quarti agli angoli fanno il cerchio di raggio r: C = π*r^2.
Il cerchio piccolo ha per diametro d la differenza fra la diagonale del quadrato (2*r*√2) e il diametro del cerchio grande (2*r): d = 2*(√2 - 1)*r.
Area del cerchio di diametro d: c = π*((√2 - 1)*r)^2
Area della zona colorata
* S(r) = c + C = π*((√2 - 1)*r)^2 + π*r^2 = 2*π*(2 - √2)*r^2
da cui
* S(4 cm) = 2*π*(2 - √2)*4^2 ~= 58.8897 ~= 58.89 cm^2