[Risolto] Buonasera ho bisogno di aiuto con dominio

y = √((x^4 + 2)/(2 - e^(2·x)))

Funzione irrazionale di indice pari.

Il numeratore del radicando è sempre strettamente positivo. Quindi devi solo concentrarti sul denominatore e dire che:

2 - e^(2·x) > 0

che risolta fornisce: x < LN(2)/2

che pertanto fornisce il C.E. della funzione data.

Il radicando deve essere maggiore, uguale a zero. Non deve essere negativo.

(x^4 + 2) /(2 - e^2x) = > 0;

x^4 + 2 > 0 sempre, per ogni x appartenente a R.

Il denominatore non deve annullarsi e deve essere sempre positivo;

2 - e^2x > 0;    cambiamo il segno:

e^2x - 2 < 0;

e^2x < 2;

facciamo il logaritmo naturale:

 2x < ln2;  ln(2) = 0,693

x <  ln(2) / 2;  [x <  0,693 / 2; x <  0,347];

Quindi dominio:  ]- infinito; + ln(2) / 2 [.

x <  (ln2) / 2.        ln(2) / 2 = 0,3465;  x < 0,347.

Infatti:   2 - e^2x = 2 - e^(2*ln2/2) =

= 2 - e^(ln2) = 2 - 2 = 0; il denominatore si annulla.

Ciao @luisa97

La funzione della variabile reale x
* f(x) = y = √((x^4 + 2)/(2 - e^(2*x)))
ha
* dominio: l'intero asse reale x;
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss;
* insieme di definizione: e^(2*x) != 2 ≡ x != ln(2)/2;
* insieme immagine: i semiassi positivi del codominio, origine esclusa; più le quattro radici quarte di meno due, radici di x^4 + 2 = 0;
* insieme di definizione reale: (x^4 + 2)/(2 - e^(2*x)) > 0 ≡ x < ln(2)/2;
* insieme immagine reale: y > ~ 1.12.
Pertanto vale la seguente distinzione di casi.
* per x < ln(2)/2, f(x) assume valore reale positivo.
* per x = ln(2)/2, f(x) è indefinita.
* per x > ln(2)/2, f(x) assume valore immaginario positivo.