Buon pomeriggio, scusatemi il disturbo, vorrei avere un chiarimento per questo esercizio.Grazie mille

\[\lim_{x\to 0} \frac{\log{\cos{x}}}{x\sin{x}} = \frac{0}{0} \overset{H}{=} \lim_{x\to 0} \frac{-\tan{x}}{\sin{x} + x\cos{x}} = \frac{0}{0} \overset{H}{=} \lim_{x\to 0} \frac{-\sec{x}^2}{2\cos{x} - x\sin{x}} = -\frac{1}{2}\,.\]

E' una forma indeterminata del tipo 0/0

Prendendo le derivate viene

lim_x->0 1/(cos x)*(-sin x) : (sin x + x cos x) =

= lim_x->0 - sin x/(sin x + x) [perché i coseni vanno a 1]

= - lim_x->0 sin(x)/x / ( 1 + sin(x)/x)) =

= - 1/(1+1) = -1/2 per limite notevole

NOTA (solo per pignolare un po'). L'autore del teorema fu
«Guillaume François Antoine de Sainte Mesme», marchese «de l'Hôpital», o «de l'Hospital»
quindi quello è il "Teorema di «de l'Hospital»" o il "Teorema di «de l'Hôpital»", non il "Teorema di «de l'Hopital»" o "Teorema di «De ...»" o peggio, ASSOLUTAMENTE ERRATO grammaticalmente, il "Teorema «dell' ...»".
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Teorema di «de l'Hôpital»
Il limite di una forma indeterminata di tipo 0/0 (lim f/g → 0/0) è eguale a quello fra le derivate dei termini del rapporto: lim f/g = lim f'/g'
Esercizio 331
Il limite richiesto è già di forma 0/0; non occorrendo trasformazioni preliminari si procede direttamente alle derivate dei termini e al limite del loro rapporto
* lim_(x → 0) ln(cos(x))/(x*sin(x)) =
= lim_(x → 0) D[ln(cos(x))]/D[x*sin(x)] =
= lim_(x → 0) - tg(x)/(sin(x) + x*cos(x))
che, essendo ancora un'indeterminata di tipo 0/0, richiede un'iterazione
* lim_(x → 0) ln(cos(x))/(x*sin(x)) =
= lim_(x → 0) - tg(x)/(sin(x) + x*cos(x)) =
= lim_(x → 0) D[- tg(x)]/D[sin(x) + x*cos(x)] =
= lim_(x → 0) (- 1/(cos^2(x)))/(2*cos(x) - x*sin(x)) = - 1/2
che è proprio il risultato atteso.