[Risolto] Buon pomeriggio, scusate per il disturbo, potreste aiutarmi per favore con questo problema di fisica?

Primo atleta: moto accelerato per il tempo t1; poi moto uniforme con velocità massima raggiunta 10 m/s

S1 = 1/2 a t1^2;

v = a * t1, massima velocità raggiunta in t1 secondi v max = 10 m/s.

t1 = v/a = 10 / 2,2 = 4,545 s;

S1 = 1/2 * 2,2 * 4,545^2 = 22,73 m; ( S totale = 60 metri).

S2 = 60 - 22,73 = 37,27 m; (Spazio restante da percorrere con velocità massima).

t2 = 37,27 / 10 = 3,73 s;

Tempo totale gara = t1 + t2 = 4,545 + 3,73 = 8,28 s.

Secondo atleta:

S1 = 1/2 a t1^2;

v = a * t1, massima velocità raggiunta in t1 secondi v max = 9,5 m/s.

t1 = v/a = 9,5 / 2,5 = 3,8 s;

S1 = 1/2 * 2,5 * 3,8^2 = 18,05 m;

S2 = 60 - 18,05 = 41,95 m; (Spazio restante da percorrere con velocità massima = 9,5 m/s).

t2 = 41,95 / 9,5= 4,42 s;

Tempo totale gara = t1 + t2 = 3,8 + 4,42 = 8,22 s.

Vince il secondo atleta! 8,22 s < 8,28 s.

RIPASSO (vale per entrambi gli esercizi)
In entrambi gli esercizi è necessaria l'analisi di un moto vario rettilineo (MVR) composto da un MRUA (moto rettilineo uniformemente accelerato) iniziale con partenza da fermo nell'origine all'istante iniziale seguito, a partire dall'istante T, da un MRU (moto rettilineo uniforme) che ha come condizioni iniziali quelle finali del MRUA.
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MRUA per t <= T
* equazioni: (s(t) = (a/2)*t^2) & (v(t) = a*t)
* condizioni finali: (s(T) = (a/2)*T^2) & (v(T) = a*T)
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MRU Per t >= T
* condizioni iniziali: (S = (a/2)*T^2) & (V = a*T)
* equazioni: (s(t) = S + V*(t - T)) & (v(t) = V)
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MVR
Per t <= T
* (s(t) = (a/2)*t^2) & (v(t) = a*t)
Per t >= T
* (s(t) = (a/2)*T^2 + a*T*(t - T)) & (v(t) = a*T) ≡
≡ (s(t) = a*T*(t - T/2)) & (v(t) = a*T)
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ESERCIZIO #1
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* 120 km/h = 100/3 m/s
* 140 km/h = 350/9 m/s
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Poiché l'istante zero è dopo 3 s dal passaggio dei DLI (due loschi individui) in MRU a 100/3 m/s questi sono passati dall'origine all'istante meno tre e, all'istante zero, la loro posizione è a 100 m dall'origine. Quindi
* equazioni DLI: (s(t) = (100/3)*(t + 3)) & (v(t) = 100/3)
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La VDP (vettura della polizia) è in MVR con
* T = 8 s
* V = v(T) = a*T = a*8 = 350/9 m/s ≡ a = 175/36 m/s^2
da cui
* equazioni VDP (t >= T): (s(t) = a*T*(t - T/2)) & (v(t) = a*T) ≡
≡ (s(t) = (350/9)*(t - 4)) & (v(t) = 350/9)
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VDP raggiunge DLI all'istante x in cui le due posizioni coincidono
* (100/3)*(x + 3) = (350/9)*(x - 4) ≡ x = 46 s
e in quell'istante la comune posizione è
* (100/3)*(46 + 3) = (350/9)*(46 - 4) = 4900/3 = 1633.(3) m = 1.6(3) km
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ESERCIZIO #2
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Lo scattista S può accelerare ad "a m/s^2" fino alla velocità di "V m/s" che poi mantiene, quindi il suo istante T si ricava da "MRUA per t <= T"
* T = V/a s
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Atleta A1: "a = 2,2 = 11/5 m/s^2", "V = 10 m/s", "T = 50/11 = 4.(54) s"
* s(T) = ((11/5)/2)*(50/11)^2 = 250/11 = 22.(72) m
Atleta A2: "a = 2,5 = 5/2 m/s^2", "V = 9,5 = 19/2 m/s", "T = 19/5 = 3.8 s"
* s(T) = ((5/2)/2)*(19/5)^2 = 361/20 = 18.05 m
PER OGNI DISTANZA SUPERIORE ai 22.(72) m
entrambi sono in MVR per t >= T con v(t) = V.
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A1: s(t) = (11/5)*(50/11)*(t - (50/11)/2) ≡
≡ s(t) = 10*(t - 25/11)
Per raggiungere la posizione S impiega x secondi
* s(x) = 10*(x - 25/11) = S ≡ x = (11*S + 250)/110
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A2: s(t) = (5/2)*(19/5)*(t - (19/5)/2) ≡
≡ s(t) = (19/2)*(t - 19/10)
Per raggiungere la posizione S impiega y secondi
* s(y) = (19/2)*(y - 19/10) = S ≡ y = (20*S + 361)/190
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Vince A1 per x < y ≡
≡ (11*S + 250)/110 < (20*S + 361)/190 ≡ S > 779/11 = 70.(81) m
Vince A2 per x > y ≡
≡ (11*S + 250)/110 > (20*S + 361)/190 ≡ S < 779/11 = 70.(81) m
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"Chi vince fra i due in una gara sui 60 m?" l'atleta #2.

@napoleone

Ciao. Vince il 2° atleta perché impiega minor tempo. In tutti e due i casi il moto è dato da una prima parte uniformemente accelerato e da una seconda parte uniforme.

1° atleta:

v = a·t (partenza da fermo)----->t = v/a impiega: t = 10/2.2   ---->t = 50/11=4.55 s

lo spazio percorso è: s = 1/2·a·t^2----->s = 1/2·2.2·(50/11)^2 quindi

s = 250/11 m=s = 22.73 m

Rimangono: 60 - 250/11 = 410/11 m da percorrere in moto uniforme (37.27 m)

v = s/t---->t = s/v= t = 410/11/10 = 41/11s (tempo impiegato con moto uniforme)

Per raggiungere il traguardo: 50/11 + 41/11 = 91/11=8.27 s complessivi

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2° atleta:

t = 9.5/2.5--->t = 19/5s=3.8 s

s = 1/2·2.5·(19/5)^2------>s = 361/20m (=18.05 m)

Rimangono: 60 - 361/20 = 839/20 m cioè: 41.95 m da percorrere in moto uniforme

t = 839/20/9.5 = 4.42 s

Tempo complessivo del 2° atleta=3.8 + 4.2 = 8 s

atleta 1 

tempo di acceler. ta1 = V1/a1 = 10/2,2 = 5/1,1  sec

spazio in acceler. Sa1 = 2,2/2*ta1^2 = 1,1*25/1,21 = 25/1,11 = 22,52 m

tempo tc1 a veloc. cost = (60-22,52)/10 = 3,75 sec 

tempo totale t1 = 3,75+4,50 = 8,25 sec 

atleta 2 

tempo di acceler. ta2 = V2/a2 = 9,5/2,5 = 3,80  sec

spazio in acceler. Sa2 = 2,5/2*ta2^2 = 1,25*3,8^2 = 25/1,11 = 18,05 m

tempo tc2 a veloc. cost = (60-18,05)/9,5 = 4,42 sec 

tempo totale t2 = 3,80+4,42 = 8,22 sec