Basi duali

Sia 

\[A = (v_1, \dots , v_n)\,, \begin{bmatrix}v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\v_n \end{bmatrix} \in \mathbb{K}^n\,.\]

Sia $x \in \mathbb{K}^n$ un vettore arbitrario. Sostituendo la $i$-esima colonna della matrice con $x$ si ottiene

\[A_i(x) = (v_1, \dots, v_{i - 1}, v_i, v_{i + 1}, \dots, v_n)\,.\]

Si definisce la forma lineare $v_i^{\vee} : \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n$

\[v_i^{\vee}(x) = \frac{\det(v_1, \dots, v_{i - 1}, x , v_{i + 1}, \dots, v_n)}{\det(v_1, \dots, v_n)}\,,\]

$\det(v_1, \dots, v_n) \neq 0\,$ in quanto $ \mathcal{B} = \{v_1, \dots , v_n \}\,,$ ergo i vettori sono in relazione lineare banale.

Se $x = v_j\,, i = j\,,$ allora

\[v_i^{\vee} = \frac{\det(v_1, \dots, v_{j - 1}, v_j, v_{j + 1}, \dots, v_n)}{\det(v_1, \dots, v_n)} = \frac{\det(A)}{\det(A)} = 1\,.\]

Se $x = v_j\,, j \neq i\,,$ nella matrice $A_i(v_j)$ la colonna $v_j$ non è unica. Poiché il determinante è alternante, si ha

\[\det(v_1, \dots, v_{j - 1}, v_j, v_{j + 1}, \dots, v_n) = 0 \implies v_i^{\vee} = 0 \therefore v_i^{\vee} = \delta_{ij}\,,\]

dove $\delta_{ij}$ è il delta di Kronecker. Ergo le forme 

\[v_i^{\vee} = \frac{\det(v_1, \dots, v_{i - 1}, x , v_{i + 1}, \dots, v_n)}{\det(v_1, \dots, v_n)}\]

costituiscono una base duale di $\left(\mathbb{K}^n\right)^{\vee}\,$.